Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `a)`

Xét `ΔABC` có:

   `E` là trung điểm của `AB`(bài cho)

   `F` là trung điểm của `AC`(bài cho)`

`=> EF` là đường trung bình của `ΔABC`

`=> EF////BC`

`=>` Tứ giác `BEFC` là hình thang `(đpcm)`

`b)`

Có `AD` là đường trung tuyến

`=> D` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔABC` có:

    `D` là trung điểm của `BC(cmt)`

    `F` là trung điểm của `AC`(bài cho)

`=> DF` là đường trung bình của `ΔABC`

`=> DF////AB`

Mà `AB⊥AC(ΔABC` vuông tại `A)`

`=> DF⊥AC`(quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì `H` đối xứng với `D` qua `F`(bài cho)

`=> DF=FH`

Xét tứ giác `ADCH` có:

    `DF=FH(cmt)`

   ` AF=FC(F` là trung điểm của `AC)`

   `AC∩DH` tại `F`

`=>` Tứ giác `ADCH` là hình bình hành

Mà `AC⊥DH(AC⊥DF)`

`=>` Tứ giác `ADCH` là hình thoi `(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

   `AB^2 + AC^2= BC^2` (định lí Pytago)

hay `5^2 + AC^2 = 13^2`

`=> AC^2=13^2-5^2= 169-25=144`

`=> AC=12(cm)`

Có `AH` là đường cao của `ΔAHC` (vì `HF⊥AC` do `DH⊥AC)`

Vậy `S_(ΔAHC)= 1/2 . HF. AC= 1/2 . 3. 12= 18(cm^2)`