Giải thích các bước giải:

a. Vì A thuộc đường tròn đường kính BC 

Suy ra:  $\overrightarrow {BAC}  = {90^ \circ }$

Hay tam giác ABC vuông tại A.

b. Ta có: $\left\{ {\matrix{
   {AB//OK}  \cr 
   {AC \bot AB}  \cr 

 } } \right. \Rightarrow AC \bot OK$

Mà OI cắt AC tại H nên $OH \bot AC$

Xét $\Delta OAC$ có OA = OC và OH là đường cao

$ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {HOC}$

Xét 2 tam giác AOI và IOC có: 

       OA = OC

       OI chung

      $\widehat {AOI} = \widehat {IOC}$

$ \Rightarrow \Delta AOI = \Delta IOC(c - g - c)$

$ \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {OCI} = {90^ \circ }$

Vậy IA là tiếp tuyến của (O).

c. Ta có: 

$OC = {{BC} \over 2} = 15(cm)$

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta được: 

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

$ \Rightarrow AC = \sqrt {{{30}^2} - {{18}^2}}  = 24(cm)$

Xét tam giác OHC vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 

$O{H^2} + H{C^2} = O{C^2}$

Mà $HC = {{AC} \over 2} = 12$ nên $OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9(cm)$

${\rm{cos}}\widehat {HOC} = {{OH} \over {OC}} = {9 \over {15}} = 0,6 = \cos \widehat {IOC}$

$\cos \widehat {IOC} = {{OC} \over {OI}} = 0,6$

$ \Rightarrow OI = {{OC} \over {0,6}} = {{15} \over {0,6}} = 25(cm)$

Mặt khác, theo định lý Py-ta-go ta có: 

$O{I^2} = O{C^2} + C{I^2}$

$ \Rightarrow CI = \sqrt {O{I^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}}  = 20(cm)$