$\text{Gọi ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) = d}$

$⇒\left \{ {{}3n+1 \vdots d \atop {4n+1 \vdots d}} \right.$

$⇒\left \{ {{4(3n+1) \vdots d} \atop {3(4n+1) \vdots d}} \right.$

$⇒\left \{ {{12n+4 \vdots d} \atop {12n+3 \vdots d}} \right.$

`⇒ (12n+4)-(12n+3)vdotsd`

`⇒1vdots d ⇒ d = ±1`

$\text{Vậy}$ `(3n+1)/(4n+1)` $\text{là phân số tối giản với mọi n là số nguyên}$

Gọi (3n+1,4n+1) = d. Điều kiện : d ∈ N*.

Vì (3n+1,4n+1)=d 

⇒ 3n+1 chia hết cho d và 4n+1 chia hết cho d

⇒ (3n+1) - (3n+1) chia hết cho d

⇒ 4(3n+1) - 3(4n+1) chia hết cho d

⇒ (12n+4) - (12n+3) chia hết cho d

⇒ 1 chia hết cho d

⇒ d = 1

⇒ 2 số 3n+1, 4n+1 nguyên tố cùng nhau

⇒ Phân số $\frac{3n+1}{4n+1}$ tối giản với mọi n là số nguyên   (đpcm)

Lưu ý :  +) (3n+1,4n+1) = ƯCLN(3n+1,4n+1)

+) Từ "chia hết cho" bạn cũng có thể thay bằng kí hiệu nhé!

~~~ Rất vui khi được giúp bạn ~~~