Giải thích các bước giải:

a.Gọi $D$ là trung điểm $BC$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \vec{AG}=\dfrac23\vec{AD}\to \vec{AD}=\dfrac32\vec{AG}$

Ta có:

$\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}$

$\to \vec{AC}=\dfrac32\vec{AG}+\dfrac12\vec{BC}$

$\to \vec{AC}=\dfrac32\vec{AG}+\vec{CN}$ vì $\vec{CN}=\dfrac12\vec{BC}$

$\to 2\vec{AC}=\dfrac32\vec{AG}+(\vec{AC}+\vec{CN})$

$\to 2\vec{AC}=\dfrac32\vec{AG}+\vec{AN}$

$\to \vec{AC}=\dfrac34\vec{AG}+\dfrac12\vec{AN}$

b.Từ câu a

$\to \dfrac34\vec{AG}=\vec{AC}-\dfrac12\vec{AN}$

$\to \vec{AG}=\dfrac43\vec{AC}-\dfrac23\vec{AN}$

$\to \vec{AG}=\dfrac43\vec{AC}-\dfrac23(\vec{AC}+\vec{CN})$

$\to \vec{AG}=\dfrac43\vec{AC}-\dfrac23(\vec{AC}+\dfrac12\vec{BC})$

$\to \vec{AG}=\dfrac23\vec{AC}-\dfrac13\vec{BC}$

Ta có:

$3\vec{MA}+4\vec{MB}=0$

$\to 3MA=4MB$

$\to 7MA=4(MA+MB)$

$\to 7MA=4AB$

$\to MA=\dfrac47AB$

$\to \vec{AM}=\dfrac47\vec{AB}$

$\to \vec{MG}=\vec{AG}-\vec{AM}$

$\to \vec{MG}=\dfrac23\vec{AC}-\dfrac13\vec{BC}-\dfrac47\vec{AB}$

$\to \vec{MG}=\dfrac23\vec{AC}-\dfrac13\vec{BC}-\dfrac47(\vec{AC}-\vec{BC})$

$\to \vec{MG}=\dfrac2{21}\vec{AC}+\dfrac5{21}\vec{BC}$

$\to \vec{MG}=\dfrac1{21}(2\vec{AC}+5\vec{BC})$

Lại có:

$\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}$

$\to \vec{MN}=\vec{AC}+\vec{CN}-\dfrac47\vec{AB}$

$\to \vec{MN}=\vec{AC}+\dfrac12\vec{BC}-\dfrac47\vec{AB}$

$\to \vec{MN}=\vec{AC}+\dfrac12\vec{BC}-\dfrac47(\vec{AC}-\vec{BC})$

$\to \vec{MN}=\dfrac3{14}(2\vec{AC}+5\vec{BC})$

$\to \vec{MN}=\dfrac92\vec{MG}$

$\to M,G,N$ thẳng hàng

d.Áp dụng định lý Menelauyt cho $3$ điểm $N,P,M$ thẳng hàng với $N\in BC, P\in AC, M\in AB$

Ta có:

$\dfrac{NB}{NC}.\dfrac{PC}{PA}.\dfrac{MA}{MB}=1$

$\to 3.\dfrac{PC}{PA}.\dfrac43=1$

$\to \dfrac{PA}{PC}=4$