Đáp án:

$(x-3)^2+(y-4)^2=4$

Giải thích các bước giải:

ta có I(1;2) và bán kính của đường tròn C là R=2

 gọi H là trung điểm của AB ta có IH vuông AB và KH vuông AB. suy ra K,H,I thẳng hàng

Đặt IH=x suy ra AH=$\sqrt{IA^{2}-IH^{2}}$=$\sqrt{IA^{2}-x^2}$

$S_{ABI}$=0,5.IH.AB=IH.AH=x.$\sqrt{2^{2}-x^{2}}$=x.$\sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4.x^2-x^{4}}$

$\Leftrightarrow S_{ABI}$=$\sqrt{-(x^{4}-4.x^{2}+4}$=$\sqrt{-(x^{2}-2)^{2}+4}\leq 2$

Do đó $S_{ABI}$max $\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$

với x=$\sqrt{2}$ suy ra AH=$\sqrt{2}$ 

Tam giác AHI có IH vuông AH và IH=AH nên là tam giác vuông cân suy ra:$\widehat{AIH}=\widehat{IAH}=45^{\circ}$

Tính IK=$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}$=2.$\sqrt{2}$

AK=$\sqrt{IA^2+IK^2-2.IA.IK.\cos \widehat{KIA}}$

=$\sqrt{2^{2}+\sqrt{8}^2-2.2.\sqrt{8}.\cos 45^{\circ}}$=2

Do đó bán kinh của đường tròn tâm K là 2

phương trình đường tròn tâm K:$(x-3)^2+(y-4)^2=4$