Đáp án: ((x;y) = (0;-1)\).

Giải thích các bước giải:

Có \(54x^3\) là số nguyên chẵn với mọi số nguyên \(x\) nên \(y^3=54x^3-1\) là một số lẻ. Suy ra \(y\) là một số lẻ. Đặt \(y=2a-1\), \(a \in Z\)
Có \(54x^3-1 = (2a-1)^3\)
\(\Leftrightarrow 54x^3-1 = 8a^3-12a^2+6a-1\)
\(\Leftrightarrow 27x^3= 4a^3-6a^2+3a\)
\(\Leftrightarrow (3x)^3 - a^3 = 3a(a^2-2a+1)\)
\(\Leftrightarrow (3x)^3-a^3 = 3a(a-1)^2\) (*)
Suy ra \(\begin{cases} (3x)^3-a^3 \ \vdots \ 3 \\ (3x)^3-a^3 \ \vdots \ a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \ \vdots \ 3 \\ 3x \ \vdots \ a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3k; k \in Z \\ 3x \ \vdots \ 3k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3k; k \in Z \\ x \ \vdots \ k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3k; k \in Z \\ x = bk ; b \in Z \end{cases}\) .
Thay vào (*) ta được: \((3bk)^3-(3k)^3=3.3k(3k-1)^2 \Leftrightarrow 3k^3(b^3-1)=k(3k-1)^2\) (**)
+) Nếu \(k=0\) thì \(x = 0; y = 2a-1 = 6k-1=-1\) thỏa mãn đề bài.
+) Nếu \(k \ne 0\) thì \((**) \Leftrightarrow 3k^2(b^3-1) = (3k-1)^2\) (vô nghiệm vì vế trái chia hết cho \(3\), vế phải không chia hết cho \(3\))
Vậy phương trình có nghiệm nguyên duy nhất \((x;y) = (0;-1)\).