a, Xét ΔADN và ΔCDB có

AD=DC (D là trung điểm của AC)

góc ADN=góc CDB (hai góc đối  đỉnh)

ND=DB (gt)

⇒ ΔADN = ΔCDB (c.g.c)

b,ΔADN = ΔCDB (cmt)

⇒góc NAD=góc DCB (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong do AC cắt  AN và BC

⇒ AN//BC

c, Xét ΔAME và ΔBCE có

AE=EB (E là trung điểm của AB)

góc AEM=góc CEB (hai góc đối  đỉnh)

CE=EM (gt)

⇒ ΔAME = ΔBCE (c.g.c)

⇒góc MAE=góc EBC (hai góc tương ứng)

Xét ΔABC có góc BAC +góc BCA+ góc CBA=$180^{o}$

Mà góc MAE=góc EBC (cmt) ,góc NAD=góc DCB (cmt)

⇒góc BAC+góc MAE+góc NAD=$180^{o}$

⇒góc MAN=$180^{o}$

⇒góc MAN là góc bẹt

⇒ Ba điểm A,M,N thẳng hàng

Bài làm

a) Xét tam giác ADN và tam giác CDB có:

AD = DC ( Do D là trung điểm AC ) 

/ ADN = / CDB ( hai góc đối )

BD = DN ( gt )

=> Tam giác ADN = tam giác CDB ( c.g.c )

b) Vì tam giác ADN = tam giác CDB ( cmt )

=> / NAD = / DCB 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> AN // BC                             (1)

c) Nối MA.

Xét tam giác AME và tam giác BCE có:

ME = EC ( gt )

/ AEM = / BEC ( hai góc đối đỉnh )

AE = ED ( do E là trung điểm AB )

=> Tam giác AME = tam giác BCE ( c.g.c )

=> / AME = / ECB 

Mà hai góc này vị trí so le trong

=> AM // BC                           (2)

Từ (1) và (2) => A, M, N thẳng hàng ( Theo tiên đề Ơ-clit ) ( đpcm )