$\text{Bạn không hiểu gì thì hỏi mình nhé >v<}$

a) Ta có : DE là đường trung bình của $\triangle$ ABC

   → DE//AB ( Theo định lí đường trung bình ) 

       AB $\bot$ AC

→ DE $\bot$ AC

b) Ta có : D là trung điểm của BC và AF

    → BFCA là hình bình hành cps tâm D

    mà $\widehat{A}$ = $90^\circ$ 

→ BFCA là hình chữ nhật

c )Ta lại có :

 AF = EC ( GT)

 BE = EG ( GT)

$\widehat{BEA}$ = $\widehat{CEG}$ ( 2 góc đối đỉnh)

→ $\triangle$ BAE = $\triangle$ CEG

Vậy $\widehat{A}$ $\widehat{C}$ và AB = CG

→ $\widehat{CEG}$ = $90^\circ$ 

→ F,C,F Thẳng hàng

Nhưng FC = AB

Nên C là trung điểm của FG ( ĐPCM) 

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

$\text{a, Xét ΔABC có:}$

`AE = EC ( \text{ E trung điểm AC})`

`BD = DC (\text{D trung điểm AB})`

$\text{ ⇒ DE là đường trung bình ΔABC}$
`-> DE // AB ; DE = 1/2 AB`
Ta có: 

`{:(DE//AB (cmt)),(AB ⊥ AC):}} ⇒ DE ⊥ AC(\text{ từ vuông góc đến song song})`

`b, \text{ ABFC có:}`
`{:(BD = DC (\text{ D trung điểm BC})),(AD = DF (\text{D trung điểm AF})):}} ⇒ \text{ ABFC là hình bình hành( dấu hiệu 5)}`
(* Dấu hiệu $5$: từ giác có $2$ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

Mà: `\hat{A} = 90^o (\text{ Δ ABC vuông tại A})`
`-> \text{ ABFC là hình chữ nhật}`
`c,`

Ta có:

`\text{ Xét ΔBEA và ΔGEC có:}`
`BE = EG (\text{ G đối xứng B qua E})`

`\hat{BEA} = \hat{CEG} ( đối  đỉnh)`

`AE = EC (\text{ E trung điểm AC})`

`-> ΔBEA = Δ GEC( c.g.c)`

`-> \hat{BAE} = \hat{GCE} = 90^o (2    góc     tương    ứng)`

`-> AB // CG (\text{ so le trong})`

Mà: `AB // CF ( hcn     ABFC)`

`-> F, C, G    thẳng      hàng(1)`

`ABFC \text{ là hình chữ nhật (cmt) ⇒ AB = CF}`

`Mà: CG = AB ( Δ BEA = ΔGEC) `

`-> FC = CG ( = AB) (2)`

Từ $(1)$ và $(2)$ `-> `  $C$ trung điểm $FG$