Đáp án:

 `a, AD = AE`

`b, \triangle IBC` cân tại `I`

`c,` AI là tia phân giác góc `A`

`d,  BC = 6  cm`

Giải thích các bước giải:

 `a,` Vì `\triangle ABC` cân tại `A`

`=> AB = AC ; hat{B} = hat{C}`

Xét `\triangle AEC` và `\triangle ADB` có:

`hat{ADB} = hat{AEC} = 90^o (BD ⊥ AC ; EC ⊥ AB)`

`AB = AC` (Giả thiết)

`hat{A}` : Góc chung

`=> \triangle AEC = \triangle ADB (g - c - g)`

`=> AD = AE` (2 cạnh tương ứng)

`b,` Từ `\triangle AEC = \triangle ADB` (chứng minh câu `a`)

`=> hat{ACE} = hat{ABD}` (2 góc tương ứng)

Mà `hat{ABC} = hat{ACB}` (Giả thiết)

`=> hat{ABC} - hat{ABD} = hat{ACB} - hat{ACE}`

`=> hat{DBC} = hat{ECB}`

Hay `hat{IBC} = hat{ICB}` 

`=> \triangle IBC` cân tại `I`

`c,` Từ `\triangle IBC` cân tại `I` (Chứng minh câu `b`)

`=> IB = IC`

Xét `\triangle AIB` và `\triangle AIC` có:

`AB = AC` (Giả thiết)

`IB = IC` (Chứng minh trên)

`AI` : cạnh chung

`=> \triangle AIB = \triangle AIC (c - c - c)`

`=> hat{IAB} = hat{IAC}` (2 góc tương ứng)

`=> AI` là tia phân giác góc `A`

`d,` Ta có:

`AC = DC + AD`

     ` = 7 + 2 = 9 (cm)`

Mà `AB = AC => AB = 9cm`

Áp dụng định lý Pytago vào `\triangle ADB` vuông tại `D` , ta được:

`AD^2 + DB^2 = AB^2`

`7^2 + DB^2 = 9^2`

`DB^2 = 9^2 - 7^2`

         ` = 81 - 49`

         ` = 32`

Áp dụng định lý Pytago vào `\triangle DBC` vuông tại `D` , ta được:

`DC^2 + DB^2 = BC^2`

`2^2 + 32 = BC^2`

`BC^2 = 32 + 4 = 36`

`=> BC = 6 (cm)`

Vậy `BC = 6 cm`

Ảnh minh họa:

a xét ΔABD và ΔACE có

         $\widehat{BAC}$ chung

             AB  =  AC(ΔABC cân tại A)

         $\widehat{ABD}$=$\widehat{ACE}$=$90^o$

⇒ΔABD=ΔACE(ch-gn)

⇒AD=AE

b ΔABD=ΔACE(cmt)

⇒EC=BD

Ta có $\left.\begin{matrix} AB=AC\\AD=AE\\ AB=AE+BE;AC=AD+DC \end{matrix}\right\}$⇒BE=DC

Xét ΔBEC và CDB có

        $\widehat{BEC}$=$\widehat{CDB}$=$90^o$

         EC   =    BD

          BE  =  DC

⇒ΔBEC=ΔCDB

⇒$\widehat{BEC}$=$\widehat{DBC}$

⇒ΔIDC cân tại I

c Gọi H là trung điểm BC 

ΔABC có AH là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác (1)

$\left.\begin{matrix} Ta có IH là trung điểm BC\\lại có AH là trung điểm AC \end{matrix}\right\}$⇒A,I,H thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ⇒AI là phân giác góc A

d Ta có AB=AC=AD+DC=7+2=9cm

ΔABD vuông tại D

⇒BD²=AB²+AD²

         =9²-7²

         = 81-49=32

ΔBDC vuông tại D

⇒BC²=BD²+DC²

         =32+2²

         =32+4=36

⇒BC=$\sqrt{36}$=6