Đáp án:

Giải thích các bước giải:

  a) xét Δ AMI và ΔAKI có:

∠AIM = ∠AKM =90; AM chung; ∠MAI = ∠MAK (AM là phân giác  ∠BAC)

⇒ Δ AMI = ΔAKI (ch -gn) (đpcm) 

⇒ MI = MK (đpcm)

vì AM là phân giác  ∠BAC ⇒ ∠MAI = ∠MAK = $\frac{1}{2}$ . ∠BAC = $\frac{1}{2}$. 90 = 45

tam giác AMI vuông tại I có: ∠MAI = 45 ⇒ Δ AMI vuông cân tại I

⇒ AI = IM (đpcm)

b) AI = 2 (cm) ⇒ IM = 2 (cm) 

áp dụng đ/lý Pytago vào Δ AMI vuông tại I có:

AM² = AI² + IM² = 2² + 2² = 8 ⇒ AM = 2√2 (cm)

áp dụng đ/lý Pytago vào Δ BMI vuông tại I có:

BM² = BI² + IM² = 1² + 2² = 5 ⇒ BM= √5 (cm)

c) Tứ giác AKMI có: ∠MKA = ∠KAI =∠ MIA = 90; AI  = IM

⇒ Tứ giác AKMI  là hình vuông ⇒ MK = MI

vì MK ⊥ AC ; AB ⊥ AC ⇒ MK // AB ⇒ ∠CMK = ∠MBI (đồng vị)

ta có: ∠CMK + ∠KMH = ∠CMH = 90 (1)

Δ MCK vuông tại K có: ∠CMK + ∠MCK = 90 (2)

(1), (2) ⇒ ∠KMH = ∠MCK (3)

vì MI ⊥ AB; AC ⊥ AB ⇒ MI // AC ⇒ ∠IMB = ∠MCK (đồng vị) (4)

(3), (4) ⇒ ∠KMH =∠ IMB

xét ΔMKH và ΔMIB có:

∠MKH = ∠MIB =90; MK = MI; ∠KMH =∠ IMB

⇒ ΔMKH =  ΔMIB (g_c_g)

⇒MH = MB 

ΔBMH có: MH = MB ; ∠ HMB =90

⇒ ΔBMH vuông cân tại H(đpcm)

d) MH = MB = √5 (cm)

AB = AI + IB = 2 +1 = 3(cm)

áp dụng đ/lý Pytago vào Δ BMH vuông tại M có:

BH² = MH² + MB² = 5 + 5 = 10 ⇒ BH = √10 (cm)

áp dụng đ/lý Pytago vào Δ ABH vuông tại A có:

AH² = BH² - AB² =10 - 3² = 1  ⇒ AH = 1 (cm)

áp dụng đ/lý Pytago vào Δ AHI vuông tại A có:

IH² = AH² + AI² = 1² + 2² = 5 ⇒ IH = √5 (cm)