Giải thích các bước giải:

a.Vì $AM$ là phân giác góc A

$\to \widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$

Mà $MI\perp  AB,MK\perp AC\to\widehat{MIA}=\widehat{MKA}=90^o$

$\to\Delta AMI=\Delta AMK(g.c.g)$

Xét $\Delta AMI$ có $\widehat{IAM}=\widehat{BAM}=45^o,\widehat{AIM}=90^o$

$\to\Delta AIM$ vuông cân tại I

$\to IA=IM$

Tương tự $\to KA=KM$

b.Vì $\Delta AIM$ vuông cân tại I(câu a)

$\to AM=AI\sqrt{2}=2\sqrt{2}, IM=AI=2$

Mà $MI\perp AB\to IM^2+IB^2=BM^2\to BM^2=5\to BM=\sqrt{5}$

c.Ta có $\Delta AMI=\Delta AMK\to MI=MK$ 

Mà $\widehat{MHK}=\widehat{MBI}(+\widehat{ACB}=90^o)$

       $\widehat{MIB}=\widehat{MKH}=90^o$

$\to\Delta MIB=\Delta MKH(g.c.g)$

$\to MB=MH$

Mà $HM\perp BM\to\Delta MHB$ vuông cân

d.Từ câu c $\to HK=BI=1$

Mà $AK=KM=MI=AI\to AK=2\to AH=AK--HK=1$

$\to HI^2=AI^2+AH^2=2^2+1^2=5\to IH=\sqrt{5}$