a, tứ ngiacs abcd là hình bình hành 

suy ra  ac//bd hay am//bn

xét hình bình hành abcd có 

ma=mc=ac/2(gt)

bn=nd=bd/2(gt)

suy ra  mn là đường trung bình của hình bình hành abcd 

suy ra ab//mn//cd

xét tứ giác abnm có 

am//bn (cmt)và ab//mn(cmt)( dhnb hình bình hành)

suy ra tứ giác abnm là hình bình hành 

ta có mb=mc=bc/2 hay 2ma=bc

mà bc=2ab

suy ra ma=ab

hình bình hành abnm có mb=ab(cmt)(dhnb hình thoi)

suy ra abnm là hình thoi

b,

a' đối xứng với a qua b 

suy ra ab=a'b(tính chất ...)

xét tứ giác aa'nm có

aa'=mn(cmt)

aa'//nm( vì ab//mn(ctm) mà a đối xứng với a' qua b )

suy ra tứ giác aa'nm là hình bình hành

c,

theo câu a ta có abmn là hình thoi 

suy ra ab=mn(tc hình thoi) mà ab=cd( vì từ giác abcd là hình bình hành)

mn=cd

tứ giác aa'nm là hình bình hành 

suy ra a'b=mn

mà mn=cd 

suy ra a'b=cd

hbh abcd có ab//cd

hay a'b//cd

xét tứ giác a'bcd có a'b//cd(cmt)

và  a'b=cd(cmt)

suy ra tứ giác a'bcd là hình bh

d,

ta có abnm là hình thoi suy ra 

góc abm=amn=60 độ (tc hình thoi)

ta có góc anm+ góc nmc=180 độ

60 độ + góc nmc=180 độ

góc nmc = 120 độ

xét tứ giác mncd có mn//cd(cmt) và mn=cd(cmt)

suy ra tứ giác mncd là hình bh

bhh mncd có mn=mn( vì ab=cd mà cm-ab)

vậy hình bình hành mncd là hình thoi

suy ra md là tia phân giác hóc nmc ( tính chât shinhf thoi)

suy ra góc nmd=góc dmc=nmc/2

nmd=120độ /2=60 độ

ta có góc amn +góc nmd = 60 độ + 60độ =120 độ