Đáp án:a)

$G( \frac{13}{3};\frac{11}{3};0)$

b) D(11;9;-2)

 c) Không tồn tai điểm M

d) $\cos \left ( \widehat{BAC} \right )=\frac{12}{25}$

$S_{ABC}=\sqrt{481} $( dvđ)

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}$=(4;0;-3)

$\overrightarrow{AC}$=(6;8;0)

Ta thấy $\overrightarrow{AB}$#k.$\overrightarrow{AC}$ với k thuộc Z

Do đó A,B,C không thẳng hàng.

toạ độ điểm $ G(x_{G};y_{G};z_{G})$:

$x_{G}=\frac{1+5+7}{3}=\frac{13}{3}$

$y_{G}=\frac{1+1+9}{3}=\frac{11}{3}$

$z_{G}=\frac{1+(-2)+1}{3}=0$

vậy $G( \frac{13}{3};\frac{11}{3};0)$

b) gọi $ D(x_{D};y_{D};z_{D})$:

$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow $ (4;0;-3)=$(x_{D}-7;y_{D}-9;z_{D}-1)$

Do đó D(11;9;-2)

c)M thuộc mp(Oxy) :$M(x_{M};y_{M};0)$

$\overrightarrow{AM}$=$(x_{M}-1;y_{M}-1;-1)$

ta thấy:

$\frac{z_{AB}}{z_{AM}}=3 $

Do đó:$\frac{4}{x_{M}-1}=3\Leftrightarrow x_{M}=\frac{7}{3}$

$\frac{0}{y_{M}-1}=3\Leftrightarrow$ $y_{M}$ không tồn tại

vậy không tồn tại M để A;B;M thẳng Hàng

d) AB=5;AC=10;BC=$\sqrt{77}$

$\cos \left ( \widehat{BAC} \right )=\frac{BA^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.BA.AC}=\frac{5^{2}+10^{2}-\sqrt{77}^{2}}{2.5.10}=\frac{12}{25}$

Diện tich tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.5.10.\sin(\arccos \frac{12}{25})=\sqrt{481} $( dvđ)