Đáp án:

 1)$x\in [4;+\propto ]$

2) đã chứng minh.

Giải thích các bước giải:

1) Tập xác định của bất phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 
\\ 10x+1\geq 0
\\ 3x-11\geq 0
\\ 9x+4\geq 0
\\ 2x-8\geq 0

\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix} 
\\ x\geq \frac{-1}{10}
\\ x\geq \frac{11}{3}
\\ x\geq \frac{-4}{9}
\\ x\geq 4
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x\geq 4$

Ta thấy:

$\lim_{x\rightarrow 4}(\sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-11}-\sqrt{9x+4}-\sqrt{2x-8})$

=$1-2\sqrt{10}+\sqrt{41}\approx1>0$

do đó tập nghiệm của bất phương trình là $x\in [4;+\propto ]$

2) ta có:

áp dụng bất đẳng thức:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$         (*)

chứng minh (*):

(*)$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}$

$\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

áp dụng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$            (1)

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{c+b}$             (2)

$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}$               (3)

Cộng dồn từng vế của (1) ;(2);(3) ta được:

$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4.(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

Chia cả hai vế cho 4 ta được bất đẳng thức cần chứng minh.(dpcm)