Giải thích các bước giải:

1.Vị $ABCD$ là hình thoi

$\to AO,BO,CO,DO$ là phân giác $\widehat{BAD},\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA}$

Mà $OM\perp AB,ON\perp BC\to OM=ON$

       $ON\perp CB,OP\perp CD\to ON=OP$

       $OP\perp DC,OQ\perp AD\to OQ=QP$

$\to OM=ON=OP=OQ$

2.Vì $ABCD$ là hình thoi

$\to AB//CD$ 

Mà $OM\perp AB,OP\perp CD\to OP\perp AB\to M,O,P$ thẳng hàng

3.Ta có : $AB=BC=CD=DA,OM=ON=OP=OQ\to AM=AQ\to\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AQ}{AD}\to MQ//BD$

Tương tự câu 2 chứng minh được $N,O,Q$ thẳng hàng

Mà $OM=ON=OP=OQ\to MP=NQ$

$\to MP,NQ$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường $,MP=NQ$

$\to MNPQ$ là hình chữ nhật

4.Nếu ABCD là hình vuông

$\to AC=BD\to OA=OB=OC=OD\to\Delta OAB$ vuông cân tại O

$\to\widehat{MOA}=45^o\to \widehat{OMQ}=45^o$ vì $MQ//BD\to MQ\perp OA$

$\to MNPQ$ là hình vuông