\(2\le c\le b\le a\left(1\right)\) Từ \(abc< ab+bc+ca\) chia 2 vế cho \(abc\) ta được : \(1< \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\left(2\right)\) Từ \(\left(1\right)\) Ta có : \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\le\dfrac{3}{c}\Rightarrow1< \dfrac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\) Thây \(c=2\) vào \(\left(2\right)\) ta có : \(\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{2}{b}\Rightarrow b\le4\) Vì b là số nguyên tố nên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\b=3\end{matrix}\right.\) +) Với b = 2 \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>0\) với mọi a +) Với b = 3\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow a< 6\) Mà a là số nguyên tố nên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\a=5\end{matrix}\right.\) Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(5,3,2\right);\left(3,3,2\right);\left(a,2,2\right)\) đứng với mọi số nguyên tố a

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

$(a;b;c)\in \left\{(2;3;5);(2;5;3);(3;2;5);(3;5;2);(5;2;3);(5;3;2);(2;2;c);(a;2;2);(2;b;2);(2;3;3);(3;2;3);(3;3;2)\right\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$abc < ab + bc + ac\left( 1 \right)$

 Không mất tổng quát ta giả sử: $a\le b\le c$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}
abc < ab + bc + ac \le bc + bc + bc = 3bc\\
 \Rightarrow a < 3
\end{array}$

Mà $a$ là số nguyên tố $\to a=2$

Như vậy: 

$(1)$ trở thành: $2bc<2b+bc+2c$ hay $bc<2b+2c<4c\to b<4$

Mà $b$ là số nguyên tố và $b\ge a=2\to b=3$ hoặc $b=2$

+) Nếu $b=2$ thì $(1)$ trở thành: $4c<4+2c+2c$ (Hiển nhiên)

$\to (2;2;c)$ với mọi $c$ là số nguyên tố đều thoả mãn đề.

+) Nếu $b=3$

Khi đó:

$(1)$ trở thành: $6c<6+3c+2c$ hay $c<6$. Mà $c$ nguyên tố, $c\ge b=3\to c=5$ hoặc $c=3$

$\to$ $(2;3;5)$ và $(2;3;3)$ là hai bộ số thỏa mãn 

Mà vai trò của $a,b,c$ như nhau nên số bộ số thỏa mãn đề là:

$(a;b;c)\in \left\{(2;3;5);(2;5;3);(3;2;5);(3;5;2);(5;2;3);(5;3;2);(2;2;c);(a;2;2);(2;b;2);(2;3;3);(3;2;3);(3;3;2)\right\}$ 

Vậy bộ số $(a;b;c)\in \left\{(2;3;5);(2;5;3);(3;2;5);(3;5;2);(5;2;3);(5;3;2);(2;2;c);(a;2;2);(2;b;2);(2;3;3);(3;2;3);(3;3;2)\right\}$ thỏa mãn đề.