$x^2-mx+2m-3=0$ (1)

a. Thay $m=-5$ vào phương trình (1) ta được:

$x^2-(-5)x+2.(-5)-3=0$

$⇔x^2+5x-10-3=0$

$⇔x^2+5x-13=0$ (*)

$\Delta_x=5^2-4.1.(-13)=77>0$

$⇒\sqrt{\Delta}=\sqrt{77}$

Do $\Delta>0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\dfrac{-5+\sqrt{77}}{2}$

$x_2=\dfrac{-5-\sqrt{77}}{2}$

Vậy với $m=-5$ thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=\dfrac{-5+\sqrt{77}}{2}$ , $x_2=\dfrac{-5-\sqrt{77}}{2}$

b, $\Delta=(-m)^2-4.1.(2m-3)=m^2-8m+12$

Để phương trình (1) có nghiệm kép

$⇔\Delta=0$

$⇔m^2-8m+12=0$

$⇔(m-2)(m-6)=0$

\(⇔\left[ \begin{array}{l}m-2=0\\m-6=0\end{array} \right.\)

\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=2\\m=6\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình (1) có nghiệm kép thì $m=2$ hoặc $m=6$

c. Áp dụng hệ thức Vi-ét:

$x_1.x_2=2m-3$

Có: $a=1\neq0$

Nên để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

$⇔\begin{cases}\Delta>0\\P<0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}m^2-8m+12>0\\2m-3<0\end{cases}$

$+)m^2-8m+12>0$

$⇔(m-2)(m-6)>0$

\(⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m-2>0\\m-6>0\end{cases}\\\begin{cases}m-2<0\\m-6<0\end{cases}\end{array} \right.\)

\(⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>2\\m>6\end{cases}\bigg|\Rightarrow m>6\\\begin{cases}m<2\\m<6\end{cases}\bigg|\Rightarrow m<2\end{array} \right.\) (**)

$+)2m-3<0⇔m<\dfrac{3}{2}$ (***)

Kết hợp (**) và (***) ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>6\\m<\dfrac{3}{2}\end{cases}\bigg|\Rightarrow\textrm{Không có giá trị nào thỏa mãn}\\\begin{cases}m<2\\m<\dfrac{3}{2}\end{cases}\bigg|\Rightarrow m<\dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $m<\dfrac{3}{2}$

d. Áp dụng hệ thức Vi-ét:

$\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=2m-3\end{cases}$

$⇔\begin{cases}m=x_1+x_2\\m=\dfrac{x_1.x_2+3}{2}\end{cases}$

$\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{x_1.x_2+3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(x_1+x_2)=x_1.x_2+3$

$\Leftrightarrow 2(x_1+x_2)-x_1.x_2-3=0$

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào $m$ là $2(x_1+x_2)-x_1.x_2-3=0$