Đáp án:

a) Ta có ˆACE=ˆACB=90oACE^=ACB^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒⇒ Tứ giác AICEAICE có: ˆACE+ˆAIE=180oACE^+AIE^=180o

⇒AICE⇒AICE nội tiếp đường tròn đường kính (AE)(AE).

b) Xét ΔIAFΔIAF và ΔIEBΔIEB có:

ˆFIA=ˆBIE=90oFIA^=BIE^=90o

ˆIFA=ˆIBEIFA^=IBE^ (cùng phụ ˆCABCAB^)

ΔIAF∼ΔIEBΔIAF∼ΔIEB (g.g)

⇒IAIE=IFIB⇒IAIE=IFIB

⇒IA.IB=IE.IF⇒IA.IB=IE.IF.

c) ΔAFBΔAFB có BC,FIBC,FI là hai đường cao E∈CB∩FI⇒EE∈CB∩FI⇒E là trực tâm ΔAFBΔAFB

⇒AE⊥FB⇒AE⊥FB (1)

ΔCEF⊥C⇒ΔCEFΔCEF⊥C⇒ΔCEF nội tiếp đường tròn đường kính (EF)

NN là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE, nên N thuộc đường tròn (EF)

⇒C,E,N,F⇒C,E,N,F cùng thuộc đường tròn

⇒ˆENF=90o⇒ENF^=90o (góc nội tiếp chắn đường kính EF)

⇒EN⊥FN⇒EN⊥FN

NN là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE nên N thuộc AE nên A, E, N thẳng hàng

hay ⇒AE⊥FN⇒AE⊥FN (2)

Từ (1) và (2) suy ra FN//FB⇒F,N,BFN//FB⇒F,N,B thẳng hàng

⇒ˆANB=90o⇒N∈(AB)⇒ANB^=90o⇒N∈(AB) hay N∈(O,R)N∈(O,R)

d) Gọi giao điểm của đường tròn tâm K và AB là M

Khi đó M thuộc đường tròn tâm K nên MEFA là tứ giác nội tiếp (K)

⇒ˆAFE=EMI⇒AFE^=EMI (cùng bù ˆAMEAME^)

ˆFIA=ˆMIEFIA^=MIE^

⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)

⇒IFIM=IAIE⇒IFIM=IAIE

⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB (câu b)

⇒IM=IB⇒M⇒IM=IB⇒M cố định ⇒AM⇒AM cố định

KA=KMKA=KM (cùng là bán kính (K)(K))

⇒K⇒K luôn nằm trên đường trung trực của AM.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)Ta  có ^AIE = ^ACE = 90

 => Tứ giác AIEC nội tiếp trong đường tròn đường kính AE (đpcm)

b)Xét hai tam giác IBE và ΔIAF có

 ^EIB = ^FIA = 90

 ^IEB = ^FAI ( cùng bù IEC)

 =>ΔIBE đồng dạng ΔAIF

 => TE/IA = IB/IF => IE.Ì = IA.IB (đpcm)

c)Trong ΔABF có E là trực tâm (FI; BC là hai đường cao )

=> AE vuông góc BF (1)

Theo đề tứ giác CFNE nội tiếp và có ^ECF = 90

 => ^ENF = 90 => EN vuông góc BF (2)

Từ (1) và (2) A, E, N thẳng hàng

=> N trên (O; R) (đpcm)

1. d) Gọi giao điểm của đường tròn tâm K và AB là M

Khi đó M thuộc đường tròn tâm K nên MEFA là tứ giác nội tiếp (K)

⇒ˆAFE=EMI⇒AFE^=EMI (cùng bù ˆAMEAME^)

ˆFIA=ˆMIEFIA^=MIE^

⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)⇒ΔFIA∼ΔMIE(gg)

⇒IFIM=IAIE⇒IFIM=IAIE

⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB⇒IA.IM=IF.IE=IA.IB (câu b)

⇒IM=IB⇒M⇒IM=IB⇒M cố định ⇒AM⇒AM cố định

KA=KMKA=KM (cùng là bán kính (K)(K))

⇒K luôn nằm trên đường trung trực của AM.