Đáp án:

$a+b=21$

Giải thích các bước giải:

 Ta cso:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+3$ và parabol $y=x^2-2(m-1)x-2m$ là:

$x^2-2(m-1)x-2m=2x+3\Leftrightarrow x^2-2mx-2m-3=0(1)$

Đường thẳng $d$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt $A,B$

$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta'>0$

$\Leftrightarrow (-m)^2-1.(-2m-3)>0$

$\Leftrightarrow m^2+2m+3>0$

$\Leftrightarrow (m+1)^2+2>0$ (luôn đúng)

Giả sử $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$.

Khi đó: $x_A;x_B$ là nghiệm của $(1)$ nên theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}

x_A+x_B=2m\\

x_A.x_B=-2m-3

\end{array} \right.$

Và do $A,B\in d\to y_A=2x_A+3;y_B=2x_B+3$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
O{A^2} + O{B^2}\\
 = x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2\\
 = \left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + {\left( {2{x_A} + 3} \right)^2} + {\left( {2{x_B} + 3} \right)^2}\\
 = 5\left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + 12\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 18\\
 = 5\left( {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 2{x_A}{x_B}} \right) + 12\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 18\\
 = 5\left( {{{\left( {2m} \right)}^2} - 2\left( { - 2m - 3} \right)} \right) + 12.2m + 18\\
 = 5\left( {4{m^2} + 4m + 6} \right) + 24m + 18\\
 = 20{m^2} + 44m + 48\\
 = 20\left( {{m^2} + 2.m.\dfrac{{11}}{{10}} +  + \dfrac{{121}}{{100}}} \right) + \dfrac{{119}}{5}\\
 = 20{\left( {m + \dfrac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \dfrac{{119}}{5}\\
 \ge \dfrac{{119}}{5},\forall m
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow m + \dfrac{{11}}{{10}} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 11}}{{10}}$

Như vậy: $Min\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) = \dfrac{{119}}{5} \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 11}}{{10}}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow a = 11;b = 10\\
 \Rightarrow a + b = 11 + 10 = 21
\end{array}$

Vậy $a+b=21$