Ta sẽ chứng minh :

`1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2` (*)

Với `k=1`

`->` (*) đúng

giả sử với `k=h` thì đẳng thức đúng

Khi đó (*) sẽ trở thành :

`1^3+2^3+...+h^3=(1+2+...+h)^2`

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với `k=h+1` 

Tức : `1^3+2^3+... + h^3 + (h+1)^3=(1+2+...+h+(h+1))^2`

Ta xét vế phải :

`= (1+2+...+h)^2 + 2 (1+2+..+h)(h+1) + (h+1)^2`

`= 1^3+2^3+...+h^3 + 2 (1+2+...+h)(h+1)+(h+1)^2`

Xét : `2(1+2+...+h)(h+1)+(h+1)^2`

Số các số hạng của tổng `1+2+..+h` là : `(h-1):1+1=h` (số hạng)

Khi đó : `2((h+1)h)/2 (h+1)+(h+1)^2`

`= (h+1)^2h + (h+1)^2`

`= (h^2 +2h+1)h  + h^2+2h+1`

`= h^3 + 2h^2 + h + h^2 +2h+1`

`= h^3 + 3h^2 + 3h +1`

`= (h+1)^3`

`->(1+2+...+h+(h+1))^2 = 1^3+2^3+...+h^3+(h+1)^3`

`->` Với `k=h+1` thì (*) đúng

Vậy `1^3+2^3+... + k^3=(1+2+...+k)^2` (giả thiết quy nạp)

Áp dụng vào bài toán :

`N=1^3+2^3+...+10^3`

`=(1+2+...+10)^2` (là SCP)

`->N` là SCP