Đáp án:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

b) Tứ giác AMBH là hình thoi

c) H đối xứng với K qua A

d) Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có: H đối xứng với M qua A, E là giao điểm của MH và AB (gt)

$\to HM\bot AB$ tại E, $HE=EM$

Tương tự $\to KM\bot AC$ tại F, $KF=FM$

Xét tứ giác AEMF:

$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AEM}=90^o\,\,\,(ME\bot AB)\\\widehat{AFM}=90^o\,\,\,(MF\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)

Xét $\triangle ABC$:

$ME//AC\,\,\,(\bot AB)$

M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ ME là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ E là trung điểm của AB

Tương tự $\to$ F là trung điểm của AC

Xét tứ giác AMBH:

E là trung điểm của AB (cmt)

E là trung điểm của MH (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBH là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $AB\bot MH$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBH là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

$\to AH//BM, AH=BM$

c)

Xét tứ giác AMCK:

F là trung điểm của AC (cmt)

F là trung điểm của MK (cmt)

$\to$ Tứ giác AMCK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $AC\bot MK$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMCK là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

$\to AK//MC, AK=MC$

Ta có: $AH//BM$ (cmt)

$\to$ H, A, K thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)

Lại có: $BM=MC$ (gt)

$\to AH=BM=AK=MC$

$\to$ A là trung điểm của HK

$\to$ H đối xứng với K qua A

d)

Ta có: E là trung điểm của AB (cmt)

$\to AE=EB=\dfrac{1}{2}AB$

F là trung điểm của AC (cmt)

$\to AF=FC=\dfrac{1}{2}AC$

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông

$\to AE=AF\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A