Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$MD$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to MD//AC;MD=\dfrac{1}{2}AC$

$\to ME//AC;ME=AC$ (Do $ME=2MD$) 

$\to AEMC$ là hình bình hành.

b) Ta có:

$D$ là trung điểm của $AB,ME$

$\to $ Tứ giác $AEBM$ là hình bình hành

Mà lại có: $MD//AC$ (câu a) $\to MD\bot AB=D$

$\to $ Tứ giác $AEBM$ là hình thoi.

c) Ta có:

$MH$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to MH//AB\to MH\bot AC$

Như vậy: 

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADM} = {90^0}\left( {do:MD \bot AB} \right)\\
\widehat {DAH} = {90^0}\\
\widehat {AHM} = {90^0}\left( {do:MH \bot AC} \right)
\end{array} \right.$

$\to ADMH$ là hình chữ nhật

$\to AM,DH$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

$\to I$ là trung điểm của $AM$

Mà lại có: 

$AEMC$ là hình bình hành (câu a)

$\to AM, CE$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

$\to CE$ đi qua $I$

$\to C,I,E$ thẳng hàng.

d) Ta có:

${S_{AMBE}} = \dfrac{1}{2}ME.AB = \dfrac{1}{2}AC.AB$

$\left( {do: \text{AEMC là hình bình hành $\to$ ME = AC}}\right)$

Lại có: 

${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\forall x,y$ hay $xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2},\forall x,y$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = y$

Như vậy:

$\dfrac{1}{2}AC.AB \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{4} \Rightarrow {S_{AMBE}} \le \dfrac{{B{C^2}}}{4}$

$ \Rightarrow Max{S_{AMBE}} = \dfrac{{B{C^2}}}{4}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow AB = AC$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân ở $A$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân ở $A$ thì diện tích tứ giác $AMBE$ lớn nhất.

a,

`E` đối xứng `M` qua `D->D` là trung điểm của `EM`

`->DM=1/2 EM`

`\triangle ABC` có : `D,M` là trung điểm của `AB,BC`

`->DM` là đường trung bình

`->DM=1/2 AC` và $DM//AC$

Tứ giác `AEMC` có :

$ME//AC,ME=AC$

`->AEMC` là hình bình hành

b,

$DM//AC, AC\bot AB\to DM\bot AB$ hay $ME\bot AB$

Tứ giác `AMBE` có : `D` là trung điểm của `AB,ME`

`-> AMBE` là hình bình hành mà `ME\bot AB`

`-> AMBE` là hình thoi

c,

`DM=1/2 AC, AH=1/2 AC ->DM=AH`

Tứ giác `ADMH` có : $DM//AH, DM=AH$

`->ADMH` là hình bình hành, `I=AM∩DH`

`->I` là trung điểm của `AM,DH`

`AEMC` là hình bình hành 

`->AM` cắt `CE` tại trung điểm mỗi đường 

Mà `I` là trung điểm của `AM`

`->I` là trung điểm của `CE`

`-> C,I,E` thẳng hàng

d,

`AEMC` là hình bình hành `->ME=AC`

`S_{AEMC}=1/2 AB .EM=1/2 AB . AC`

Đặt `AB=x,AC=y`

`->x,y>0`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `x,y` ta được :

`x+y\ge 2\sqrt{xy}`

`->x^2+2xy+y^2\ge 4xy`

`-> x^2+y^2\ge 2xy`

`->xy\le (x^2+y^2)/2`

`-> 1/2 xy\le (x^2+y^2)/4`

`-> S_{AMBE}\le (AB^2+AC^2)/4=(BC^2)/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `AB=AC`

`<=>\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `S_{AMBE}` có diện tích lớn nhất là `(BC^2)/4<=> \triangle ABC` vuông cân tại `A`