Câu 3:

`A=x^2z_(x x)^″+xz_x^'-y^2z_(y y)^″-yz_y^'+1`

Ta có: `z=e^y+2lnxy`

`=>{(z_x^'=2/x=>z_(x x)^″=-2/x^2),(z_y^'=e^y+2/y=>z_(y y)^″=e^y-2/y^2):}`

Thay vào `A`, ta được:

`x^2*(-2)/(x^2)+x*2/x-y^2(e^y-2/(y^2))-y(e^y2/y)+1`

`=-y^2e^y-ye^y+1`

`=>A^2=(-y^2e^y-ye^y+1)^2`

`=y^4e^(2y)+y^2e^(2y)+1+2y^3e^(2y)-2y^2e^y-2ye^y`

Vậy `A^2=y^4e^(2y)+y^2e^(2y)+1+2y^3e^(2y)-2y^2e^y-2ye^y`

Câu 4:

Ta có: `{(z_x^'=4x^2+4y^2-5=>z_(x^2)^″=8x; z_(xy)^″=8y),(z_y^'=8xy-4=>z_(y^2)^″=8x;z_(yx)^″=8y):}`

`=> Delta(x; y)=[[8x,8y],[8y; 8x]]`

Xét hệ: `{(z_x^'=0),(z_y^'=0):}<=>(x; y)=(1;1/2); \ \(-1;-1/2); \ \(1/2;1);\ \(-1/2;-1)`

`=>` Hàm số có 4 điểm dừng:

`P_1(1;1/2); \ \P_2(-1;-1/2); \ \P_3(1/2;1); \ \P_4(-1/2;-1)`

* Tại `P_1=(1;1/2)`, ta có: 

`Δ(1; 1/2)=[[8,4],[4,8]]=48>0`

`z_(x^2)^″(1; 1/2)=8>0`

`=>` Hàm đạt cực tiểu tại `P_1(1;1/2), z_(CT)=46/3`.

* Tại `P_2(-1;-1/2)`, ta có: 

`Δ(-1; -1/2)=[[-8,-4],[-4,-8]]=48>0`

`z_(x^2)^″(-1; -1/2)=-8<0`

`=>` Hàm số đạt cực đại tại `P_2(-1;-1/2), z_(CĐ)=74/3`.

* Tại `P_3(1/2;1)`, ta có: 

`Δ(1/2;1)=[[4,8],[8,4]]=-48<0`

`=>P_3(1/2;1)` không là điểm cực trị của hàm số.

* Tại `P_4(-1/2;-1)`, ta có: 

`Δ(-1/2;-1)=[[-4,-8],[-8,-4]]=-48<0`

`=>P_4(-1/2;-1)` không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm `P_1(1;1/2), z_(CT)=46/3`

Hàm số đạt cực đại tại điểm `P_2(-1;-1/2), z_(CĐ)=74/3`.