Giải thích các bước giải:

a.Ta có : $AH\perp BC\to \widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o$ 

$\to\Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\to AB^2=BC.BH$

b.Vì BD là phân giác góc B
$\to\widehat{ABD}=\widehat{EBH}$

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{BHE}=90^o$
$\to\Delta BAD\sim\Delta BHE(g.g)$

$\to\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{AD}{HE}\to AB.HE=AD.HB$

c.Từ câu b$\to\widehat{ADB}=\widehat{BEH}$

$\to\widehat{AED}=\widehat{BEH}=\widehat{BDA}=\widehat{ADE}\to\Delta ADE$ cân tại A

d.Ta có $BD$ là phân giác góc B

$DA\perp BA,DF\perp BF\to DA=DF\to DA=DF=AE$ vì $\Delta ADE$ cân tại A

Lại có $DF\perp BC\to DF//AE\to \Diamond ADFE$ là hình bình hành

$\to EF//AC\to\widehat{HFE}=\widehat{HCA}\to\Delta HEF\sim\Delta HAC(g.g)$

$\to\dfrac{S_{HEF}}{S_{HAC}}=(\dfrac{HF}{HC})^2$

Ta có : $AB^2=BH.BC\to BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{(3BH)^2}{BH}=9BH$

Vì $BD$ là phân giác góc B

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{3BH}{9BH}=\dfrac13$

$\to \dfrac{HF}{FC}=\dfrac{DA}{DC}(DF//AH)$
$\to\dfrac{HF}{FC}=\dfrac13$
$\to\dfrac{HF}{FH+FC}=\dfrac1{1+3}$

$\to\dfrac{HF}{HC}=\dfrac14$

$\to\dfrac{S_{HEF}}{S_{HAC}}=(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac1{16}$