a) Ta có: $E$ là trung điểm của $AB$

$G$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow EG$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow EG\parallel AC$ hay $EG\parallel AF$

Và $EG=\dfrac{1}{2}=AF$ (do $F$ là trung điểm $AC$)

$\Rightarrow AEGF$ là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có thêm $\widehat A=90^o\Rightarrow $ tứ giác $AEGF$ là hình chữ nhật

b) Ta có $EI\parallel BF$ (cách dựng)

$BE\parallel IF$ (do $GF$ là đường trung bình $\Delta ABC\Rightarrow GF\parallel AB$)

$\Rightarrow BEIF$ là hình bình hành

c) $BEIF$ là hình bình hành suy ra $IF=BE=GF$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $IG$

Ta có: $GF\parallel AB$ mà $AB\bot AC\Rightarrow GF\bot AC$

Tứ giác $AGCI$ có hai đường chéo $AC,IG$ cắt nhau tại trung điểm $F$ của mỗi đường và vuông với nhau tại $H$

$\Rightarrow AGCI$ là hình thoi

d) Để $AGCI$ là hình vuông thì $ \widehat{AGC}=90^o$

$\Rightarrow \Delta AGC\bot G$ lại có $AG=AC$ (do tứ giác là hình thoi)

$\Rightarrow \Delta AGC$ vuông cân đỉnh $G$

$\Rightarrow \widehat{ACG}=45^o$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$