Đáp án:

${V_{S.ABCD}} = {{2\sqrt 7 {a^3}} \over 3}$ 

Giải thích các bước giải:

Theo giả thiết: 

$\left\{ {\matrix{
   {(SIA) \bot (ABCD)}  \cr 
   {(SID) \bot (ABCD)}  \cr 

 } } \right. \Rightarrow SI \bot (ABCD)$

Vậy SI là đường cao của hình chóp ABCD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {ABI} = \widehat {ABC} = {90^ \circ }$

Xét tam giác ABI vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$\eqalign{
  & A{B^2} + B{I^2} = A{I^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow A{I^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow AI = a\sqrt 2  \cr} $

Theo chứng minh trên: SI vuông góc với ABCD

⇒ SI ⊥ IA

Xét tam giác SIA vuông tại I:

Áp dụng định lí Py-ta-go ta được: 

$\eqalign{
  & S{I^2} + I{A^2} = S{A^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow 2{a^2} + S{I^2} = 9{a^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow SI = a\sqrt 7  \cr} $

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:

${V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}SI.{S_{ABCD}} = {1 \over 3}a\sqrt 7 .a.2a = {{2\sqrt 7 {a^3}} \over 3}$