Đáp án:

Tích phân phân kỳ

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sin x - x} = -\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{x - \sin x}\\
\text{Đặt}\ f(x) = \dfrac{1}{x - \sin x} > 0,\ \forall x\in (0;1]\\
\qquad g(x) = \dfrac{1}{x^3}>0,\ \forall x\in (0;1]\\
\text{Xét}\ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}\\
\ = \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^3}{x - \sin x}\\
\mathop{=\kern-2pt=}\limits^{VCB}\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^3}{\dfrac{x^3}{6}}=6\\
\Rightarrow \displaystyle\int\limits_0^1f(x)dx\ \text{và}\ \displaystyle\int\limits_0^1g(x)dx\ \text{cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ}\\
\text{Ta lại có:}\\
\displaystyle\int\limits_0^1g(x)dx = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{1}{x^3}dx\ \text{phân kỳ}\\
\text{Do đó:}\\
\displaystyle\int\limits_0^1f(x)dx = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{x - \sin x}\ \text{phân kỳ}\\
\text{Hay}\ \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sin x - x}\ \text{phân kỳ}\\
\text{Vậy tích phân đã cho phân kỳ theo định lý so sánh bằng giới hạn}
\end{array}\)