`24)`

Dự đoán điểm rơi tại `a = b = c = 25`

Áp dụng BĐT $\text{Cô - si}$, ta có:

$\dfrac{a}{2\sqrt{b} - 5}$ `+ (2\sqrt{b} - 5) ≥ 2. \sqrt{\frac{a}{2\sqrt{b} - 5} . (2\sqrt{b} - 5)} = 2\sqrt{a}`

`⇒` $\dfrac{a}{2\sqrt{b} - 5}$ `≥ 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b} + 5`

$\\$

$\dfrac{b}{2\sqrt{c} - 5}$ `+ (2\sqrt{c} - 5) ≥ 2. \sqrt{\frac{b}{2\sqrt{c} - 5} . (2\sqrt{c} - 5)} = 2\sqrt{b}`

`⇒` $\dfrac{b}{2\sqrt{c} - 5}$ `≥ 2\sqrt{b} - 2\sqrt{c} + 5`

$\\$

$\dfrac{c}{2\sqrt{a} - 5}$ `+ (2\sqrt{a} - 5) ≥ 2. \sqrt{\frac{c}{2\sqrt{a} - 5} . (2\sqrt{a} - 5)} = 2\sqrt{c}`

`⇒` $\dfrac{c}{2\sqrt{a} - 5}$ `≥ 2\sqrt{c} - 2\sqrt{a} + 5`

Cộng `3` BĐT trên theo từng vế, ta được:

`Q =` $\dfrac{a}{2\sqrt{b} - 5}$ `+` $\dfrac{b}{2\sqrt{c} - 5}$ `+` $\dfrac{c}{2\sqrt{a} - 5}$ `≥ 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b} + 5 + 2\sqrt{b} - 2\sqrt{c} + 5 + 2\sqrt{c} - 2\sqrt{a} + 5 = 15`

Vậy $\text{min Q}$ là `15` khi: $\begin{cases} \dfrac{a}{2\sqrt{b} - 5} = 2\sqrt{b} - 5\\\dfrac{b}{2\sqrt{c} - 5} = 2\sqrt{c} - 5\\\dfrac{c}{2\sqrt{a} - 5} = 2\sqrt{a} - 5 \end{cases}$

            `⇔ a = b = c = 25`

`26)`

Sử dụng kỹ thuật AM - GM ngược dấu

Ta có:

`1/(a^2 + 1) = [(a^2 + 1) - a^2]/(a^2 + 1) = 1 - a^2/(a^2 + 1)`

Đến đây sử dụng BĐT $\text{Cô - si}$, ta có:

`a^2 + 1 ≥ 2a`

`⇒ a^2/(a^2 + 1) ≤ a^2/(2a) = a/2`

`⇒ - a^2/(a^2 + 1) ≥ -a/2`

`⇔ 1/(a^2 + 1) = 1 - a^2/(a^2 + 1) ≥ 1 - a/2 = a/2`

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta được:

`1/(b^2 + 1) = 1 - b^2/(b^2 + 1) ≥ 1 - b/2 = b/2`

`1/(c^2 + 1) = 1 - c^2/(c^2 + 1) ≥ 1 - c/2 = c/2`

Cộng `3` BĐT trên theo từng vế, ta được:

`P = 1/(a^2 + 1) + 1/(b^2 + 1) + 1/(c^2 + 1) ≥ a/2 + b/2 + c/2 = (a + b + c)/2 = 3/2`

Vậy $\text{min P}$ là `3/2` khi: $\begin{cases} a^2 = 1\\b^2 = 1\\c^2 = 1 \end{cases}$

                         `⇔ a = b = c = 1`