$a,$ $Xét$ $tam$ $giác$ $vuông$ $ABC$ $có$

$D$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $AB$

$E$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $BC$

⇒$DE$ $là$ $đường$ $TB$ $của$ $tam$ $giác$ $ABC$

⇒ $DE$ $=$ $\frac{1}{2}$ $AC$ $;$ $DE$ $//$ $AC$

$Mà$ $F$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $AC$

⇒$AF$ $=$ $\frac{1}{2}$ $AC$

$Xét$ $tứ$ $giác$ $AFED$ $có$

$DE$ $=$ $AF$ ($=$ $\frac{1}{2}$ $AC$)

$DE$ $//$ $AF$ ($DE$ $//$ $AC$)

⇒$Tứ$ $giác$ $AFED$ $là$ $hbn$ ($tú$ $giác$ $có$ $2$ $cạnh$ $đối$ $vừa$ $song$ $song$ $vừa$ $bằng$ $nhau$ )$(1)$

$Lại$ $có$ $tam$ $giác$ ABC$ $vuông$ $tại$ $A$ 

⇒$∠A$ $=$ $90độ$ $(2)$

$Từ$ $(1)$ $và$ $(2)$⇒$Tứ$ $giác$ $AFED$ $là$ $hcn$ ($hbh$ $có$ $1$ $góc$ $vuông$ $là$ $hcn$)

$b,$ $Xét$ $tứ$ $giác$ $ANBE$ $có$

$N$ $đx$ $vs$ $E$ $qua$ $D$ 

⇒$NE$ $\cap$ $AB$ $qua$ $D$

$Mà$ $D$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $AB$

⇒$ANBE$ $là$ $hình$ $bình$ $hành$ ($tứ$ $giác$ $có$ $2$ $đường$ $chéo$ $cắt$ $nhau$ $tại$ $trung$ $điểm$ $của$ $mỗi$ $đường$ $là$ $hbh$)$(3)$

$Lại$ $có$ $AE$ $là$ $đường$ $trung$ $tuyến$ $ứng$ $với$ $cạnh$ $BC$

⇒$AE$= $\frac{1}{2}$ $BC$

$hay$ $AE$ $=$ $BE$ $(4)$

$Từ$ $(3)$ $và$ $(4)$⇒$Tứ$ $giác$ $ANBE$ $là$ $hcn$ ($hbh$ $có$ $2$ $cạnh$ $kề$ $bằng$ $nhau$ $là$ $hình$ $thoi$)$(đpcm)$