a,

`DP=1/2 CD, AB=1/2 CD`

`-> DP=AB`

Tứ giác `ABPD` có : $DP=AB, AB//DP$

`-> ABPD` là hình bình hành

`\triangle ABC` có : `M,N` là trung điểm của `AB,BC`

`->MN` là đường trung bình

`->` $MN//AC,MN=\dfrac{AC}{2}$

`\triangle ADC` có : `Q,P` là trung điểm của `AD,CD`

`->QP` là đường trung bình

`->` $QP//AC, QP=\dfrac{AC}{2}$

$MN//AC, QP//AC\to MN//QP$

`MN=(AC)/2, QP=(AC)/2 -> MN=QP`

Tứ giác `MNPQ` có : $MN//QP, MN=QP$

`-> MNPQ` là hình bình hành

b,

`MNPQ` là hình thoi

`->` Hình bình hành `MNPQ` có `MN=QM`

`\triangle ABD` có : `Q,M` là trung điểm của `AD,AB`

`-> QM` là đường trung bình

`->QM=(BD)/2`

`MN=(AC)/2` mà `QM=MN`

`-> BD=AC`

`->ABCD` là hình thang cân

Vậy `ABCD` là hình thang cân để `MNPQ` là hình thoi

c,

`ABPD` là hình bình hành, `E=AP∩ BD`

`->E` là trungg điểm của `PA, BD` 

`\triangle ADP` có : `Q,E` là trung điểm của `AD,AP`

`-> QE` là đường trung bình

`->` $QE//CD(1)$

Hình thang `ABCP` có : `E,N` là trung điểm của `AP,BC`

`->EN` là đường trung bình

`->` $EN//CD(2)$

`(1)(2) ->Q,N,E` thẳng hàng