Câu 1:

\(\left( {m + 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 5 = 0\left( * \right)\)

a) TH1: \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\) thì \(\left( * \right)\) là \(8x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (TM).

TH2 : \(m + 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 3\) thì (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m + 3} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 2m + 15 \ge 0 \Leftrightarrow 16 \ge 0\) (luôn đúng)

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

b) Theo câu a, \(\Delta ' = 16 > 0,\forall m \ne - 3\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \ne - 3\).

Câu 2:

\(\left( {m - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + m - 3 = 0\)

a) TH1: \(m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\), phương trình trở thành \( - 18x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{18}}\).

TH2: \(m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\).

Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 5} \right)^2} - \left( {m - 4} \right)\left( {m - 3} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 10m + 25 - {m^2} + 7m - 12 < 0\) \( \Leftrightarrow 17m + 13 < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{{13}}{{17}}\)

Vậy \(m <  - \dfrac{{13}}{{17}}\).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\\Delta ' = 17m + 13 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m > - \dfrac{{13}}{{17}}\end{array} \right.\).

Vậy \(m >  - \dfrac{{13}}{{17}}\) và \(m \ne 4\).