Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có: 

 góc BAC = góc BHA =90; góc B chung

⇒ tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA (g-g)

⇒ $\frac{AB}{HB}$ = $\frac{CB}{AB}$ ⇒ AB² = BH.BC (đpcm)

b) Xét tam giác HBA và tam giác HAC có:

 góc BHA = góc AHC =90; góc BAH = góc ACH (cùng phụ với góc HAC)

⇒ tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC(g-g)

⇒ $\frac{AH}{CH}$ = $\frac{BH}{AH}$ ⇒ AH² = BH.CH (đpcm)

  c) vì tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC ⇒ $\frac{BH}{AH}$ = $\frac{AB}{CA}$ 

⇒$\frac{2BP}{2AQ}$= $\frac{AB}{CA}$ ⇒ $\frac{BP}{AQ}$ = $\frac{AB}{CA}$

Xét tam giác BAP và tam giác ACQ có:

góc ABP = góc CAQ (cùng phụ với góc BAH); $\frac{BP}{AQ}$ = $\frac{AB}{CA}$

⇒tam giác BAP đồng dạng với tam giác ACQ (đpcm)

d) gọi I là giao của AP và CQ

vì tam giác BAP đồng dạng với tam giác ACQ nên góc BAP = góc ACQ hay góc BAP = góc ACI

ta có: góc BAP + góc PAC = góc BAC =90

⇒ góc ACI + góc PAC  =90 hay góc ACI + góc IAC  =90 

tam giác AIC có: góc ACI + góc IAC + góc AIC =180 ⇔ 90 + góc AIC =180 ⇔ góc AIC =90

⇒ AP ⊥ CQ (đpcm)

e) Xét tam giác AMH và tam giác AHB có:

góc AMH = góc AHB =90 ; chung góc A

⇒ tam giác AMH đồng dạng với tam giác AHB (g-g)

⇒ $\frac{AM}{AH}$ = $\frac{AH}{AB}$ ⇒ AH² = AM.AB (đpcm) (1)

f) Xét tam giác ANH và tam giác AHC có:

góc ANH = góc AHC =90; góc A chung

⇒ tam giác ANH đồng dạng với tam giác AHC (g-g)

⇒ $\frac{AN}{AH}$ = $\frac{AH}{AC}$ ⇒ AH² = AN.AC(2)

(1), (2) ⇒ AM.AB = AN.AC (đpcm)

g) Vì AM.AB = AN.AC ⇒ $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AN}{AB}$ 

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có:

góc A chung; $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AN}{AB}$ 

⇒ tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (đpcm)