a) Xét tứ giác ABCD có :

M là trung điểm của AC (gt)

M là trung điểm của BD (D là điểm đối xứng của B qua M)

AC và BD cắt nhau tại M

⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

b) Ta có AD // BC (ABCD là hình bình hành)

Mà B, C, E nằm trên cùng một đường thẳng (DE // AC cắt BC tại E)

⇒ AD // BE

Xét tứ giác ABED, có :

AD // BE 

⇒ Tứ giác ABED là hình thang (2 cạnh đối song song)

Xét tứ giác ADCE, có

AC // DE (gt)

⇒ Tứ giác ADCE là hình bình hành (2 cạnh đối song song)

⇒ AC = DE

Mà AC = AB (ΔABC cân tại A)

⇒ AB = DE

Xét hình thang ABED, có :

AB = DE (cmt)

⇒ Hình thang ABED là hình thang cân (hai cạnh bên bằng nhau)

a/ Tứ giác ABCD có:
- AM=MD (gt)
- MB=MC (gt)
=> Tứ giác ABCD là hình bình hành
Do △ABC là tam giác cân suy ra AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao hay AM⊥BC
=> ABCD là hình thoi (đpcm)

b/ Hình thoi ABCD (cmt) có AC//BD => CF//BD => AF//BD (1)
Mặt khác ta có: AD⊥BC ; BF⊥BC => AD//BF (2)
AF và BD cùng cắt AD và BF (3)
Từ (1), (2), (3):
Vậy tứ giác ADBF là hình bình hành (đpcm)