Đáp án:

Giải thích các bước giải:

  a) vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC 

vì AD là tia phân giác của góc BAC nên góc BAD = 45 ⇒ góc HAE+ góc EAD = 45 (1)

ta có góc EAF =45 ⇒ góc EAD + góc DAF = 45 (2)

(1),(2) ⇒ góc HAE = góc DAF 

Xét tam giác  AHE và tam giác ADF có:

góc AHE = góc ADF = 90; góc HAE = góc DAF 

⇒ tam giác  AHE đồng dạng với tam giác ADF (g-g) (đpcm)

⇒ $\frac{AH}{AD}$ = $\frac{AE}{AF}$ ⇒ AD.AE = AH.AF (đpcm)

b) vì AD là tia phân giác của góc BAC nên góc DAC =45 ⇒ góc DAF + góc FAK = 45 (3)

(2); (3) ⇒ góc EAD = góc FAK 

Xét tam giác  ADE và tam giác AKF có:

góc ADE = góc AKF =90; góc EAD = góc FAK 

⇒ tam giác  ADE đồng dạng với tam giác AKF (g-g)

⇒ $\frac{AD}{AK}$= $\frac{AE}{AF}$ ⇒ AD.AF = AE.AK (đpcm)

vì AD.AF = AE.AK ⇒$\frac{AD}{AE}$= $\frac{AK}{AF}$ (đpcm)

Xét tam giác ADK và tam giác AEF có:

góc DAK = góc EAF =45; $\frac{AD}{AE}$= $\frac{AK}{AF}$ 

⇒tam giác ADK đồng dạng với tam giác AEF (đpcm)

c)

theo câu a ta có tam giác ADF đồng dạng với tam giác AHE ⇒$\frac{AD}{AH}$ =$\frac{AF}{AE}$ (4)

ta có: $\frac{AD}{AE}$= $\frac{AK}{AF}$⇒ $\frac{AK}{AD}$ = $\frac{AF}{AE}$ (5)

(4),(5) ⇒ $\frac{AD}{AH}$= $\frac{AK}{AD}$  ⇒AD²= AH.AK (đpcm)

Xét tam giác ADH và tam giác AKD có:

góc DAH = góc DAK = 45; $\frac{AD}{AH}$= $\frac{AK}{AD}$ 

⇒tam giác ADH đồng dạng với tam giác AKD 

⇒ góc ADH = góc AKD

xét tam ADK có: góc ADK + góc AKD + góc DAK = 180

⇔ góc ADK + góc AKD +45 =180

⇔góc ADK + góc AKD =135

⇔góc ADK + góc ADH= 135

⇔góc HDK =135