$TU = 10X - 0,5X^2 + 20Y - 0,25Y^2$

$\Rightarrow \begin{cases}MU_X = 10 - X\\MU_Y = 20 - 0,5Y\end{cases}$

a) Tỉ lệ thay thế biên của $X$ cho $Y$ tại điểm $A(4;10)$

$MRS_{XY}=\dfrac{10 - 4}{20 - 0,5.10}= \dfrac25$

Cần từ bỏ $\dfrac25$ sản phẩm $Y$ để đổi lấy $1$ sản phẩm $X$ mà không làm thay đổi tổng lợi ích

b) Tỉ lệ thay thế biên của $Y$ cho $X$ tại điểm $A(4;10)$

$MRS_{YX}=\dfrac{20 - 0,5.10}{10-4}= \dfrac52$

Cần từ bỏ $\dfrac52$ sản phẩm $X$ để đổi lấy $1$ sản phẩm $Y$ mà không làm thay đổi tổng lợi ích

c) Đường ngân sách:

$3X + 9Y = 105$

Tối đa hoá hữu dụng:

$\quad \begin{cases}3X + 9Y = 105\\\dfrac{10- X}{3}=\dfrac{20-0,5Y}{9}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}X =5\\Y = 10\end{cases}$

Vậy cần tiêu dùng $5$ sản phẩm $X$ và $10$ sản phẩm $Y$ để tổng hữu dụng đạt tối đa

d) Đường ngân sách mới:

$6X + 9Y = 105$

Phối hợp tối ưu:

$\quad \begin{cases}6X + 9Y = 105\\\dfrac{10- X}{6}=\dfrac{20-0,5Y}{9}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}X =\dfrac{5}{11}\\Y = \dfrac{125}{11}\end{cases}$

Phối hợp tối ưu mới:

$(X;Y)= \left(\dfrac{5}{11};\dfrac{125}{11}\right)$