Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác ABC có: \(OC = \frac{1}{2}AB\,\,\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C (Tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABM, đường cao AC có:

\(A{B^2} = BC.BM\) (hệ thức lượng)

\( \Rightarrow {\left( {2R} \right)^2} = BC.BM \Rightarrow 4{R^2} = BC.BM\).

b) Xét tam giác vuông ACM có: \(KC = \frac{1}{2}AM = KA = KM\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow \Delta KAC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat {KAC} = \widehat {KCA}\) (2 góc ở đáy).

Tam giác OAC có \(OA = OC \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (2 góc ở đáy).

\( \Rightarrow \widehat {OCK} = \widehat {OCA} + \widehat {KCA} = \widehat {OAC} + \widehat {KAC} = \widehat {OAK} = {90^0}\).

\( \Rightarrow KC \bot OC \Rightarrow KC\) là tiếp tuyến của (O) tại C.

c) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: OK, OD lần lượt là phân giác góc \(\widehat {AOC},\,\,\widehat {BOC}\).

\( \Rightarrow OK \bot OD\) (phân giác của 2 góc kề bù) \( \Rightarrow \Delta KOD\) vuông tại O.

Lại có \(BD = CD\).

\( \Rightarrow AM.BD = 2CK.CD = 2.O{C^2} = 2{R^2}\) (Hệ thức lượng).

Ta có: \(OA.AB = R.2R = 2{R^2}\).

\( \Rightarrow OA.AB = AM.BD\).

\( \Rightarrow \frac{{OA}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\).

Xét tam giác OAM và tam giác DBA có:

\(\widehat {OAM} = \widehat {DBA} = {90^0}\);

\(\frac{{OA}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta OAM \sim \Delta DBA\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BDO}\)

Gọi I là giao điểm của MO và AD.

Xét tam giác OAI có:

\(\widehat {IAO} + \widehat {IOA} = \widehat {IAO} + \widehat {AOM} = \widehat {IAO} + \widehat {BDO} = {90^0}\) (do tam giác ABD vuông tại B)

\( \Rightarrow \Delta OAI\) vuông tại I \( \Rightarrow AI \bot OI\) hay \(MO \bot AD\) (đpcm).