a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có

$\widehat{A}$, $\widehat D$ ở vị trí trong cùng phía nên bù nhau

$\widehat A=120^o\Rightarrow D=60^o$

$\Rightarrow \widehat{IDC}=\widehat{ADI}=30^o$ (do $DI$ là tia phân giác $\widehat D$)

Mà $\widehat{IDC}=\widehat{AID}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow \widehat{ADI}=\widehat{AID}=30^o$

$\Rightarrow \Delta ADI$ cân đỉnh $A$

$\Rightarrow AD=AI$ mà $AI=\dfrac{1}{2}AB$ (do $I$ là trung điểm cạnh $AB$)

$\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow AB=2AD$ (đpcm)

b)$\Delta ADI$ cân đỉnh $D$

Gọi $J$ là trung điểm cạnh $AI$

$\Rightarrow AJ$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao

$\widehat{DAJ}=\dfrac{1}{2}\widehat{DAI}=60^o$

Xét $\Delta $ vuông $ADH$ và $\Delta$ vuông $DAJ$ có:

$AD$ chung

$\widehat{ADH}=\widehat{DAJ}=60^o$

$\Rightarrow $ $\Delta $ vuông $ADH=\Delta$ vuông $DAJ$ (ch.gn)

$\Rightarrow AH=DJ$ mà $DJ=\dfrac{DI}{2}$ (do cách gọi $J$ là trung điểm cạnh $DI$ )

$\Rightarrow AH=\dfrac{DI}{2}$

$\Rightarrow DI=2AH$ (đpcm)

c) Ta có: $BI=BC$ ($=\dfrac{1}{2}AB$ chứng minh câu a)

$\Rightarrow \Delta IBC$ cân đỉnh $B$ có thêm $\widehat{B}=60^o$

$\Rightarrow IBC$ đều $\Rightarrow IC=IB=IA$

$\Rightarrow \Delta ABC\bot C$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=90^o$

$\widehat{DAC}=\widehat{ACB}=90^o$ (so le trong)

$\Rightarrow AD\bot AC$ (đpcm).