Đáp án:

a) $MN=AI$

b) Tứ giác ADIC là hình thoi

c) Để tứ giác ADIC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

d) K, A, D thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có: K đối xứng với I qua AB, M là giao điểm của IK và AB

$\to AB\bot IK$ tại M, M là trung điểm của IK

Tương tự

$\to AC\bot ID$ tại N, N là trung điểm của ID

Xét tứ giác AMIN:

$\widehat{MAN}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AMI}=90^o\,\,\,(IM\bot AB)\\\widehat{ANI}=90^o\,\,\,(IN\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to MN=AI$

b)

Xét $\triangle ABC$:

$IN//AB\,\,\,(\bot AC)$

I là trung điểm của BC (gt)

$\to$ IN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ N là trung điểm của AC

Tương tự $\to$ M là trung điểm của AB

Xét tứ giác ADIC:

N là trung điểm của ID (cmt)

N là trung điểm của AC (cmt)

$\to$ Tứ giác ADIC là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $IN\bot AC\to ID\bot AC$

$\to$ Tứ giác ADIC là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

c)

Tứ giác ADIC là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác ADIC là hình vuông

$\to AI\bot IC\to AI\bot BC$

$\to$ AI là đường cao của $\triangle ABC$

Mà AI là trung tuyến của $\triangle ABC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác ADIC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

d)

Xét tứ giác AIBK:

M là trung điểm của AB (cmt)

M là trung điểm của IK (cmt)

$\to$ Tứ giác AIBK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $IM\bot AB\to IK\bot AB$

$\to$ Tứ giác AIBK là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

$\to AK//BI\to AK//BC$ (2)

Ta có: Tứ giác ADIC là hình thoi (cmt)

$\to AD//IC\to AD//BC$ (2)

Từ (1), (2) $\to$ K, A, D thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)