Đáp án:

 a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên  $\widehat{ABC}$=$90^{o}$

Vì HM⊥AB nên $\widehat{AMH}$=$90^{o}$

Vì HN⊥AC nên $\widehat{ANH}$=$90^{o}$

Xét tứ giác AMHN có $\widehat{ABC}$=$\widehat{AMH}$=$\widehat{ANH}$=$90^{o}$

⇒ tứ giác AMHN là hình chữ nhật

b) Vì I là trung điểm của HC ;K là điểm đối xứng của A qua I nên  IH=IC, IA=IK

Xét tam giác AHI và KCI có:

IA=IK

IH=IC

$\widehat{AIH}$=$\widehat{KIC}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔAHI= ΔKCI  (c-g-c)

⇒ AH=KC   (1)

$\widehat{IAH}$=$\widehat{IKC}$

⇒ AH//KC (2 góc so le trong bằng nhau)   (2)

Từ (1) và (2)

⇒ ACKH là hình bình hành

⇒ AC//HK

c) Vì AC//HK nên NCKM là hình thang

Mặt khác $\widehat{NMH}$=$\widehat{HAN}$=$\widehat{HKC}$

⇒ NCKM là hình thang cân

d) Vì AH//CK nên AO//CK

⇒ $\frac{AD}{DK}$ =$\frac{AO}{CK}$ =$\frac{1}{2}$

⇒ $\frac{AD}{AK}$=$\frac{1}{3}$ hay AK=3AD  (đpcm)