Giải thích các bước giải:

a) Áp dụng tính chất đường tiếp tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông vào ΔAFM, ΔADM, ΔAEM có: $IF=ID=IE=IA=IM$ (1)
=> ΔIDM cân tại I => $∠DIM = 2∠DAI$ (góc ngoài của tam giác).
Tương tự, ta có: $∠MIF = 2∠IAF$
Nên $∠DIM+∠MIF = 2∠DAI+2∠IAF=2(∠DAI+∠IAF)=2∠CAD=60^o$
Mà ΔIDF cân tại I (do ID=IF)
=> ΔIDF đều
=> $∠IDF=60^o$ và $IF=FD$ (2)
Từ (1) => F,D,E,A,M ∈ (I)
=> tứ giác AEDF nội tiếp (I)
=> $∠EAF+∠EDF=180^o$
=> $∠EAF+∠IDF+∠IDE=180^o$
=> $60^o+60^o+∠IDE=180^o$
=> $∠IDE=60^o$

Mà ΔIED cân tại I (do IE=ID)
=> ΔIED đều
=> $IE=ED$ (3)
Từ (1), (2) và (3) => $IF=FD= IE=ED$
Vậy DEIF là hình thoi
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF và N là trung điểm của AH.
DEIF là hình thoi (cmt) => $OI=OD$
H là trực tâm của ΔABC đều => H là trọng tâm ΔABC => $AN=NH=HD$
+ Xét ΔAHM có: $AN=NH, IA=IM$ (cmt)
Nên NI là đường trung bình của ΔAHM
=> $NI//HM$
+ Xét ΔDIN có: $NH=HD, OI=OD$ (cmt)
Nên OH là đường trung bình của ΔDIN

=> $NI//OH$
Do đó: $HM ≡ OH$ (tiên đề Ơ-clit) => $O ∈ MH$
Vậy MH, ID, EF đồng quy tại O.
c) DEIF là hình thoi => $EF=2OF$ và $∠IOF=90^o$
Xét ΔIOF vuông tại O, có: $OF = IF.sin60^o=\frac{\sqrt{3}}{2}IF$
=> $EF=2OF=\sqrt{3}IF$
Mà $IF=IM=\frac{1}{2}AM$
=> $EF=\frac{\sqrt{3}}{2}AM$
Nên EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất
Mà $AM≥AD$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
($AM=AD$ khi và chỉ khi $M≡D$)
Vậy EF nhỏ nhất khi và chỉ khi $M≡D$.
@deawoo