Đáp án:$\dfrac{a^3\sqrt{15}}{32}$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $SH\perp BC, SH\cap MN=I$

Ta có $M,N$ là trung điểm $SB,SC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta SBC$

$\to MN//BC\to SH\perp MN=I$

Mà $(AMN)\perp (SBC)$

$\to SH\perp (AMN)\to SH\perp AI$

$\to AI\perp (SBC)$

$\to AI\perp BC$

$\to BC\perp (SAH)$

$\to BC\perp AH$

Mà $\Delta ABC$ đều $\to H$ là trung điểm $BC$

Vì $MN$ là đường trung bình $\Delta SBC\to MN//BC\to NI//CH\to NI$ là đường trung bình $\Delta SHC\to I$ là trung điểm $SH$

Ta có $AI\perp SH, I$ là trung điểm $SH$ 

$\to \Delta SAH$ cân tại $A$

Kẻ $SD\perp AH\to SA\perp BC$ vì $BC\perp (SAH)$

$\to SD\perp (ABC)$

Ta có $AS=AH=\dfrac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\dfrac32a$

Mặt khác ta có $SD\perp (ABC)\to D$ là trực tâm $\Delta ABC$

Vì $\Delta ABC$ đều 

$\to D$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to AD=\dfrac23AH=a$

$\to SD=\sqrt{SA^2-AD^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

$\to V_{ABC}=\dfrac13\cdot SD\cdot S_{ABC}$

$\to V_{ABC}=\dfrac13\cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{2}\cdot \dfrac{(a\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}$

$\to V_{ABC}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{8}$

Lại có $\dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\dfrac{SM}{SB}\cdot \dfrac{SN}{SC}=\dfrac14$

$\to S_{SAMN}=\dfrac14V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{32}$