a) Do $I$ là trung điểm cạnh $AH$

và $M$ là trung điểm cạnh $HB$

Nên $IM$ là đường trung bình $\Delta ABH$

$\Rightarrow IM\parallel AB$

$\Rightarrow ABMI$ là hình thang

b) $IM$ là đường trung bình $\Delta ABH$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow IM=\dfrac{1}{2}AB$

Mà $E$ là trung điểm cạnh $DC$

$\Rightarrow $ $EC=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=DC$)

$\Rightarrow IM=EC$ mà $IM\parallel EC$

$\Rightarrow IMCE$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối xứng song song và bằng nhau)

c) Tứ giác $IM\parallel EC$ mà $EC\bot BC$

$\Rightarrow IM\bot BC$

Ta có: $\Delta IBC$ có $IM\bot BC$ và $BH\bot IC$

$IM$ và $BH$ là hai đường cao

$\Rightarrow IM\cap BH=M\Rightarrow M$ là trực tâm của $\Delta IBC$ (đpcm)

$\Delta AIC$ có $M$ là trực tâm $\Rightarrow CM\bot IB$

mà $IE\parallel CM$ (do $IMCE$ là hình bình hành)

$\Rightarrow IE\bot IB\Rightarrow \Delta IEB\bot I$

Có $G$ là trung điểm cạnh huyền $EB$

$\Rightarrow IG=\dfrac{1}{2}EB$

$\Delta BCE\bot C$ có $G$ là trung điểm cạnh huyền $EB\Rightarrow CG=\dfrac{1}{2}EB$

$\Rightarrow ID=CG(=\dfrac{1}{2}EB)$

$\Rightarrow \Delta ICG$ cân đỉnh $G$

d) Ta có  $BK=AC$ mà $AC=BD$

$\Rightarrow BK=BD\Rightarrow \Delta BDK$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{BDK}=\widehat{BKD}$ (*)

Dựng $Kx\bot DC$ và $Kx\cap DC=Q$

$\Rightarrow Kx\parallel BC$ (vì cùng $\bot DC$)

$\Rightarrow \widehat{K_1}=\widehat{B_1}$ (so le trong)

Mà $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ $\widehat{HCB}$)

$\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{K_1}=\widehat{D_1}$ (**)

Ta có: $\widehat{QDK}=\widehat{BDK}-\widehat{D_1}$

$\widehat{QKD}=\widehat{BKD}-\widehat{K_1}$

Từ (*) và (**) suy ra

$\widehat{QDK}=\widehat{QKD}$

Mà $\Delta QDK$ vuông đỉnh $Q$

$\Rightarrow \Delta QDK$ vuông cân đỉnh $Q$

$\Rightarrow \widehat{QDK}=45^o$.