Giải thích các bước giải:

a.Ta có $N$ là trung điểm $BC$

              $M, Q$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $MQ$

$\to BMCQ$ là hình bình hành

b.Ta có $BMCQ$ là hình bình hành

$\to BQ//CM, BQ=CM$

Mà $M$ là trung điểm $CA$

$\to BQ//AM, BQ=AM$

$\to AMQB$ là hình bình hành

Do $\hat A=90^o, AB=\dfrac12AC=AM$

$\to ABQM$ là hình vuông

c. Ta có $ABQM$ là hình vuông

$\to QM\perp MA\to QM\perp AC=M$

Mà $M$ là trung điểm $AC$

$\to\Delta AQC$ cân tại $Q$

Lại có $ABQM$ vuông $\to \widehat{QAC}=\widehat{QAM}=45^o$

$\to\Delta QAC$ vuông cân tại $Q$

Ta có $AC=2AB=10$

$\to QA=\dfrac{AC\sqrt2}2=5\sqrt2$

$\to S_{AQC}=\dfrac12AQ^2=25$

d.Gọi $AQ\cap BM=E$

Vì $ABQM$ là hình vuông

$\to EA=EQ=EB=EM=\dfrac12AQ=\dfrac12BM$ và $E$ là trung điểm $AQ, BM$

Ta có $M, F$ là trung điểm $AC, CH$

$\to MF$ là đường trung bình $\Delta AHC$

$\to MF//AH$

Mà $AH\perp BC\to MF\perp BC\to\Delta BMF$ vuông tại $F$

Lại có $E$ là trung điểm $BM$

$\to EF=EB=EM=\dfrac12BM$

$\to EF=EA=EQ=\dfrac2AQ$

$\to\Delta AFQ$ vuông tại $F$

$\to QF\perp AF$

`a,`

`Q` đối xứng `M` qua `N->N` là trung điểm của `MQ`

Tứ giác `BMCQ` có : `N` là trung điểm của `MQ, BC`

`-> BMCQ` là hình bình hành

`b,`

`BMCQ` là hình bình hành `->` $BQ// CM,BQ=CM, BM//CQ$

`BQ=CM, AM=CM -> AM=BQ`

`\triangle ABC` có : `M,N` là trung điểm của `AC,BC`

`->MN` là đường trung bình `->MN=1/2 AB`

`MN=1/2 MQ, MN = 1/2 AB = 1/4 AC = 1/2 AM`

`-> MQ=AM`

Tứ giác `AMQB` có : $AM//BQ, AM=BQ$

`-> AMQB` là hình bình hành mà `hat{MAB}=90^o`

`->AMQB` là hình chữ nhật mà `AM=MQ`

`-> AMQB` là hình vuông

`c,`

`AMQB` là hình vuông `->BM\bot AQ, MQ=BQ=AB=AM,hat{QBA}=90^o`

`\triangle ABQ` vuông tại `B` có :

`BQ^2+ BA^2=AQ^2` (Pytago)

`->AQ=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}cm`

$CQ//BM, MB\bot AQ\\\to CQ\bot AQ$

`->\triangle AQC` vuông tại `Q`

Lại có : `QM` là đường trung tuyến, đường cao 

(`QM` là đường cao do `MN` là đường trung bình `->` $MN//AB$ mà $AB\bot AC\to MN\bot AC$)

`->\triangle AQC` vuông cân tại `Q`

`S_{\triangle AQC}=1/2 AQ.AQ=1/2 AQ^2=1/2 . 50=25cm^2`

`d,`

Gọi `V=AQ∩ BM`

`AMQB` là hình vuông `->V` là trung điểm của `AQ,BM` và `AQ=BM`

`\truangle ACH` có : `M,F` là trung điểm của `AC,CH`

`->MF` là đường trung bình

`->` $MF//AH$ mà $AH\bot BC$

`-> MF\bot BF`

`\triangle MFB` vuông tại `F` có `FV` là đường trung tuyến

`->FV=1/2 BM=1/2 AQ`

`\triangle AFQ` có : `FV` là đường trung tuyến, `FV=1/2 AQ`

`-> \triangle AFQ` vuông tại `F`

`->AF\bot QF`