`a,`

`H` đối xứng `M` qua `I->I` là trung điểm của `MH`

`\triangle ABC` vuông cân tại `A` có `AM` là đường cao

`->AM` là đường trung tuyến `->M` là trung điểm của `BC`

`\triangle ABC` có : `M,I` là trung điểm của `BC,AC`

`-> MI` là đường trung bình $\to MI//AB$ mà $AB\bot AC$

`-> MI\bot AC` hay `MH\bot AC`

Tứ giác `AMCH` có : `I` là trung điểm của `AC, MH`

`-> AMCH` là hình bình hành mà `MH\bot AC`

`-> AMCH` là hình chữ nhật mà `hat{AMC}=90^o`

`->AMCH` là hình vuông

`b,`

`\triangle ABC` vuông tại `A` có :

`AB^2+AC^2=BC^2` (Pytago)

`->BC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}cm`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AM . BC`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AB . AC`

`-> AM . BC = AB . AC`

`->AM  =(5.5)/(5\sqrt{2}) = (5\sqrt{2})/2`

`S_{AHCM}=AM^2 = ((5\sqrt{2})/2)^2=25/2 cm^2`

Vậy `S_{AHCM}=25/2 cm^2`

._.

$a,$ $I$ là trung điểm của $AC$

$H$ đối xứng với $M$ qua $I$

$⇒$ $I$ là trung điểm của $MH$

$⇒$ $AHCM$ là hình bình hành

Lại có: $AM$ là đường cao $ΔABC$ vuông cân tại $A$

$⇒AM$ cũng là đường trung tuyến

$⇒$ $M$ là trung điểm của $BC$

$⇒$ $MI$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒$ $MI//AB$

$⇒$ $MI⊥AC$

$⇒$ $MH⊥AC$

$⇒$ $AHCM$ là hình thoi

Mà: $\widehat{AMC}=90^o$

$⇒$ $AHCM$ là hình vuông

$b,$ Áp dụng định lí $Pi-ta-go$ vào $ΔABC$ vuông cân tại $A$ ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$BC^2=5^2+5^2$

$BC^2=50$

$⇒BC=\sqrt{50}cm$

$AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$⇒AM=\dfrac{1}{2}.BC$

$⇒AM=\dfrac{1}{2}.\sqrt{50}$

$⇒AM=\dfrac{\sqrt{50}}{2}$

$⇒S_{AHCM}=AM^2=(\dfrac{\sqrt{50}}{2})^2=\dfrac{25}{2}=12,5cm^2$

Cách $2:$ $MI$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒2MI=AB$

$⇒MI=\dfrac{5}{2}=2,5cm$

$⇒MH=2MI=2.2,5=5cm$

$⇒S_{AHCM}=\dfrac{1}{2}.AC.MH=\dfrac{1}{2}.5.5=12,5cm^2$

Vậy $S_{AHCM}=12,5cm^2$