Đáp án:

a.

AB = AC (gt)

⇒ Tam giác ABC cân tại A

AN = NB = $\frac{AB}{2}$ (N là trung điểm của AB)

AM = MC =$\frac{AC}{2}$   (M là trung điểm của AC)

mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

⇒ AM = MC = AN = NB 

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AM = AN (chứng minh trên)

A là góc chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

⇒ Tam giác ABM = Tam giác ACN (c.g.c)

b)

MB = ME (M là trung điểm của BE)

NC = NF (N là trung điểm của CF)

mà MB = NC (tam giác BNC = tam giác CMB)

⇒ ME = NF

∠ANF = ∠BNC (2 góc đối đỉnh)

∠AME = ∠CMB (2 góc đối đỉnh)

mà ∠BNC = ∠CMB (tam giác BNC = CMB)

=> ∠ANF = ∠AME

Xét tam giác ANF và ΔAME có:

AN = AM (chứng minh trên)

∠ANF = ∠AME (chứng minh trên)

NF = ME (chứng minh trên)

⇒ ΔANF = Δ AME (c.g.c)

⇒ AF = AE (2 cạnh tương ứng)

⇒  A là trung điểm của FE (đpcm)

c)

AM = AN (chứng minh trên)

=> Tam giác ANM cân tại A

=> ANM=$\frac{180°-∠NAM}{2}$  (1)

Tam giác ABC cân tại A

=> ABC=$\frac{180°-∠BAC}{2}$  (2)

Từ (1) và (2) 

=> ∠ANM = ∠ABC 

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> MN // BC

Xét tam giác ANF và BNC có:

AN = NB (N là trung điểm của AB)

ANF = BNC (2 góc đối đỉnh)

NF = NC (N là trung điểm của FC)

⇒ΔANF = Δ BNC (c.g.c)

⇒ ∠FAN =∠ CBN (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AF // BC

mà MN // BC (chứng minh trên)

=> EF // MN // BC(đpcm).