Đáp án:

a) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

b) Để tứ giác EFGH là hình vuông thì hình thoi ABCD cần thêm điều kiện là $AC=BD$ hay hình thoi ABCD trở thành hình vuông

c) $S_{EFGH}=12cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

$\to$ EF là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to EF//AC, EF=\dfrac{1}{2}AC$

Xét $\triangle ADC$:

G là trung điểm của CD (gt)

H là trung điểm của DA (gt)

$\to$ GH là đường trung bình của $\triangle ADC$

$\to GH//AC, GH=\dfrac{1}{2}AC$

Xét tứ giác EFGH:

$EF//GH\,\,\,(//AC)\\EF=GH\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác EFGH là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta có: Tứ giác ABCD là hình thoi (gt)

$\to AC\bot BD$

Xét $\triangle ABD$:

E là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của DA (gt)

$\to EH//BD, EH=\dfrac{1}{2}BD$

Mà $EF//AC, AC\bot BD$

$\to EF\bot EH$

$\to$ Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

b)

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác EFGH là hình vuông

$\to EF=EH\\\to \dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BD\\\to AC=BD$

$\to$ Tứ giác ABCD là hình vuông

$\to$ Để tứ giác EFGH là hình vuông thì hình thoi ABCD cần thêm điều kiện là $AC=BD$ hay hình thoi ABCD trở thành hình vuông

c)

$S_{ABCD}=\dfrac{AC.BD}{2}=24\\\to BD=\dfrac{48}{AC}=\dfrac{48}{6}=8(cm)$

$\to S_{EFGH}=EF.EH=\dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.6.\dfrac{1}{2}.8=12(cm^2)$