Đáp án:

\[x + 3y - 12 = 0\]

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Copski ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y}} \right)\left( {x + y} \right) \ge {\left( {\frac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x  + \frac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\\
 \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}},\,\,\,\,\,\forall a,b,x,y > 0
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left( {a + b} \right)\) biết \(\frac{9}{a} + \frac{1}{b} = 1\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(1 = \frac{9}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{{{{\left( {3 + 1} \right)}^2}}}{{a + b}} = \frac{{16}}{{a + b}} \Rightarrow a + b \le 16\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{3}{a} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow a = 3b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 12\\
b = 4
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng d là \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow x + 3y - 12 = 0\)