a) Ta xét

$AB^2 + AC^2 = 9^2 +12^2 = 225 = 15^2 = BC^2$

Vậy theo Định lý đảo của Pytago, ta có tam giác ABC vuông tại A.

b) Áp dụng hệ thức lượng ta có

$AH.BC = AB.AC$

Vậy $AH = \dfrac{36}{5}$ (cm)

Áp dụng hệ thức lượng tiếp ta có

$AB^2 = BH.BC$

Vậy $BH = \dfrac{27}{5}$ (cm)

Do đó $CH = BC - BH = \dfrac{48}{5}$

c) Xét tứ giác AEHF có

$\widehat{HEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFH} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật, suy ra AH = EF.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC ta có

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

Do AH = FE nên ta có

$\dfrac{1}{EF^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

d) Áp dụng Pytago cho tam giác BAC ta có

$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$<-> AB . \dfrac{AB}{BC} + AC. \dfrac{AC}{BC} = BC$

Lại có $\dfrac{AB}{BC} = \cos(\widehat{B})$ và $\dfrac{AC}{BC} = \cos(\widehat{C})$ nên

$AB . \cos (\widehat{B}) + AC . \cos(\widehat{C}) = BC$.

e) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHB vuông tại H và HE là đường cao nên
$AH^2 = AE.AB$.

CMTT cho tam giác vuông AHC ta có

$AH^2 = AF.AC$.

Vậy $AE.AB = AF.AC$ ($= AH^2$).

Từ đẳng thức 

$AH^2 = AE.AB$

Vậy $AE = \dfrac{144}{25}$ (cm)

CMTT ta tính đc $AF = \dfrac{108}{25}$

Xét tam giác vuông AEF có

$S_{AEF} = \dfrac{1}{2} . AE.AF = \dfrac{7776}{625}$ ($cm^2$)

Khi đó

$S_{BEFC} = S_{ABC} - S_{AEF}$

$= \dfrac{1}{2} . AB . AC - S_{AEF}$

$= \dfrac{25974}{625}$ ($cm^2$)