Bài 1:

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A,$ đường cao $AH$ có:

$AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{25.36}=30cm$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AHB,\Delta AHC\bot H$ có:

$AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=\sqrt{30^2+25^2}=5\sqrt{61}$

$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=6\sqrt{61}$

$\Rightarrow $ Chu vi $\Delta ABC$ là: $AB+AC+BC=11\sqrt{61}+61cm$

$S_{ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}=915cm^2$

Bài 2:

a) Theo tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng $180^o$:

$\Delta ABC$ có $\widehat A=90^o,\widehat C=30^o\Rightarrow B=60^o$

Do $BD$ là đường phân giác nên $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\dfrac{\widehat B}{2}=30^o=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow\Delta DBC$ cân đỉnh $D$

$\Rightarrow DB=DC$

Ta có: $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AD}{DB}=\sin\widehat{ABD}=\sin30^o=\dfrac12$

b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A$ có:

$\cos B=\dfrac{AB}{BC}$

$\Rightarrow BC=\dfrac{AB}{\cos B}=\dfrac{12,5}{\cos60^o}=25cm$

$\sin B=\dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AC=BC.\sin B=25.\sin60^o=\dfrac{25\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow$ Chu vi $\Delta ABC$ là $AB+AC+BC=37,5+\dfrac{25\sqrt3}{2}cm$

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{625\sqrt3}{8}cm^2$