Bài làm

a) ta có: AB + BD = AD 

AC + CE = AE 

Mà AB = AC, BD = AD ( gt )

=> tam giác ADE cân ở A

=> ^ADE = ( 180 độ - ^DAE )/2.          (1)

Xét tam giác ABC cân ở A có:

^ABC = ( 180 độ - ^DAE )/2.        (2)

Từ (1) và (2) => ^ADE = ^ABC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> BC // DE.

b) vì tam giác ABC cân ở A

=> ^ABC = ^ACB

Mà ^MBD và ^NCE lần lượt là góc đối đỉnh của các góc ^ABC và ^ACB

=> ^MBD = ^NCE.

Xét tam giác BMD và tam giác CNE có

^BMD = ^CNE = 90 độ

Cạnh huyền BD = CE ( gt )

Góc nhọn: ^MBD = ^NCE

=> Tam giác BMD = tam giác CNE ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> DM = NE 

c) Ta có ^ABC + ^ABM = 180 độ ( kề bù )

^ACB + ^ACN = 180 độ ( kề bù )

Mà ^ABC = ^ACB ( cmt )

=> ^ABM = ^ACN 

Vì tam giác BMD = tam giác CNE ( cmt )

=> BM = CN

Xét tam giác ABM và tâm giác ACN có:

AB = AC ( tam giác ABC cân ở A)

^ABM = ^ACN ( cmt )

BM = CN ( cmt )

=> tam giác ABM = tam giác ACN ( c.g.c )

=> AM = AN 

=> tam giác AMN cân ở A.

d) gọi đường vuông góc với AM là IO, đường vuông góc với AN là IG

Vì tam giác ABM = tam giác ACN ( cmt )

=> ^AMB = ^ANC 

Xét tam giác OBM và tâm giác GCN có:

^BOM = ^CGN ( = 90 độ )

Cạnh huyền BM = CN

Góc nhọn: ^AMB = ^ANC

=> tam giác OBM = tam giác GCN ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> OB = GC

=> ^OBM = ^GCN ( hai giác tương ứng )

Mà hai góc ^CBI và góc ^BCI lần lượt là hai góc đối của hai góc ^OBM và ^GCN

=> ^CBI = ^BCI

=> tam giác IBC cân ở I

=> IB = IC

Ta có: IB + OB = IO

IC + CG = GI

Mà IB = IC, OB = GC ( cmt )

=> OI = GI

Xét tam giác AIO và tam giác AIG có:

^AOI = ^AGI ( = 90 độ )

Cạnh huyền AI chung

Cạnh góc vuông OI = GI

=> tam giác AIO = tam giác AIG ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> ^OAI = ^GAI

=> AI là tia phân giác của góc MAN